Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

Princípio de Cavalieri e volume de pirâmides

Gabarito: letra C (CERTO). Para $m = \frac{l}{2}$ e $n = 2l$, a área da base retangular da pirâmide não regular é $m \times n = \frac{l}{2} \times 2l = l^2$, exatamente igual à área da base quadrada da pirâmide regular. Como ambas têm a mesma altura $h$, o volume é o mesmo — é exatamente isso que o princípio de Cavalieri garante.

O princípio de Cavalieri é um dos pilares do cálculo de volumes na geometria espacial. Ele afirma que, se dois sólidos têm a mesma altura e, para qualquer plano paralelo às bases, as áreas das seções transversais são iguais, então os volumes são iguais. Isso vale mesmo que os sólidos tenham formatos completamente diferentes — a forma não importa, apenas a correspondência das áreas das seções em cada altura.

No caso específico de pirâmides, o princípio se aplica de forma direta: duas pirâmides de mesma altura têm o mesmo volume se as áreas de suas bases forem iguais. Isso porque, para qualquer altura $x$ medida a partir do vértice, a seção transversal de uma pirâmide é semelhante à base, com área proporcional a $x^2$. Se as bases têm a mesma área, as seções em qualquer altura também terão a mesma área, e o princípio de Cavalieri garante a igualdade dos volumes.

Vamos aplicar isso ao problema. A pirâmide regular tem base quadrada de lado $l$, então a área da base é $A_1 = l^2$. A pirâmide não regular tem base retangular com lados $m = \frac{l}{2}$ e $n = 2l$, então a área da base é $A_2 = m \times n = \frac{l}{2} \times 2l = l^2$. As áreas das bases são iguais e as alturas são iguais ($h$), portanto, pelo princípio de Cavalieri, os volumes são iguais.

A fórmula do volume de uma pirâmide confirma isso diretamente: $V = \frac{1}{3} \times \text{área da base} \times \text{altura}$. Para a pirâmide regular, $V_1 = \frac{1}{3} \times l^2 \times h$. Para a não regular, $V_2 = \frac{1}{3} \times l^2 \times h$. Os volumes são idênticos.

A pegadinha aqui é sutil: o candidato pode se apressar e pensar que, como as bases têm formatos diferentes (quadrado vs. retângulo), os volumes seriam diferentes. Mas o princípio de Cavalieri existe justamente para mostrar que o formato da base não importa — o que importa é a área. E, com os valores dados, as áreas são iguais.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Com $m = \frac{l}{2}$ e $n = 2l$, a área da base retangular é $m \times n = \frac{l}{2} \times 2l = l^2$, que é exatamente a área da base quadrada de lado $l$. Como as duas pirâmides têm a mesma altura $h$, o princípio de Cavalieri garante que os volumes são iguais. A fórmula do volume de uma pirâmide ($V = \frac{1}{3} \times A_{base} \times h$) confirma: ambos os volumes são $\frac{1}{3} l^2 h$.

Gabarito: letra C (CERTO).