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Questão de Matemática — Inequações de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaInequações de Segundo Grau
Código
ce402839
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
No mercado de compras digitais, o e-comércio, os sítios estão sempre aprendendo a satisfazer os desejos de seus clientes. Em um sítio de e-comércio, dois programas diferentes de IA, M1 e M2, foram utilizados por um período de 72 horas para registrar o número de vendas efetuadas. A partir dos dados obtidos, foram propostos os modelos matemáticos a seguir, que indicam o número de vendas efetuadas, em milhares, para o período 0 ≤ t ≤ 72h.SMa(t)=0,02(t)=0,02(t−7)⋅(t−38)+30SM2(t)=0,02(t−5)⋅(33−1)+25S_Ma(t) = 0,02( t) = 0,02 ( t -7) \cdot ( t -38) + 30\\S_{M2}(t) = 0,02 (t -5) \cdot (33 -1) + 25 Tendo como base essas informações, julgue o item e assinale a opção correta no item 129, que é do tipo C.   Para t > 62h, SM1(t) ≥ SM2(t).
  1. CCerto
  2. EErrado
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Comparação de funções quadráticas: SM1(t) × SM2(t)

Gabarito: letra C (CERTO). Para t > 62h, o modelo SM1(t) é de fato maior ou igual a SM2(t). A diferença SM1(t) − SM2(t) é uma função do segundo grau com concavidade para cima, cujas raízes são t = 5 e t = 62; fora do intervalo entre as raízes (ou seja, para t < 5 ou t > 62), a diferença é positiva. Como o domínio é 0 ≤ t ≤ 72h, para t > 62h a diferença é positiva, garantindo SM1(t) ≥ SM2(t).

Vamos entender o problema. Temos dois modelos que descrevem o número de vendas (em milhares) de dois programas de IA ao longo de 72 horas. O modelo SM1(t) é dado por SM1(t) = 0,02·(t − 7)·(t − 38) + 30, e o modelo SM2(t) é dado por SM2(t) = 0,02·(t − 5)·(33 − t) + 25. A pergunta é: para t > 62h, o valor de SM1(t) é maior ou igual ao de SM2(t)?

A estratégia mais eficiente é comparar as duas funções diretamente, calculando a diferença D(t) = SM1(t) − SM2(t). Se D(t) ≥ 0, então SM1(t) ≥ SM2(t). Vamos expandir cada modelo para facilitar a subtração.

Primeiro, expandimos SM1(t):

SM1(t) = 0,02·(t − 7)·(t − 38) + 30

Calculando o produto (t − 7)(t − 38) = t² − 38t − 7t + 266 = t² − 45t + 266.

Então SM1(t) = 0,02·(t² − 45t + 266) + 30 = 0,02t² − 0,9t + 5,32 + 30 = 0,02t² − 0,9t + 35,32.

Agora expandimos SM2(t):

SM2(t) = 0,02·(t − 5)·(33 − t) + 25

Calculando o produto (t − 5)(33 − t) = 33t − t² − 165 + 5t = −t² + 38t − 165.

Então SM2(t) = 0,02·(−t² + 38t − 165) + 25 = −0,02t² + 0,76t − 3,3 + 25 = −0,02t² + 0,76t + 21,7.

Agora calculamos a diferença:

D(t) = SM1(t) − SM2(t) = (0,02t² − 0,9t + 35,32) − (−0,02t² + 0,76t + 21,7)

D(t) = 0,02t² − 0,9t + 35,32 + 0,02t² − 0,76t − 21,7

D(t) = 0,04t² − 1,66t + 13,62.

Essa é uma função do segundo grau com coeficiente a = 0,04 > 0, portanto a concavidade é para cima. Para saber onde D(t) é positiva, precisamos encontrar as raízes da equação 0,04t² − 1,66t + 13,62 = 0.

Podemos usar a fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva da equação do segundo grau):

t=−b±b2−4ac2at = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Substituindo a = 0,04, b = −1,66 e c = 13,62:

t=1,66±(−1,66)2−4⋅0,04⋅13,622⋅0,04t = \frac{1,66 \pm \sqrt{(-1,66)^2 - 4 \cdot 0,04 \cdot 13,62}}{2 \cdot 0,04}
t=1,66±2,7556−2,17920,08t = \frac{1,66 \pm \sqrt{2,7556 - 2,1792}}{0,08}
t=1,66±0,57640,08t = \frac{1,66 \pm \sqrt{0,5764}}{0,08}
t=1,66±0,760,08t = \frac{1,66 \pm 0,76}{0,08}

Assim, as raízes são:

t₁ = (1,66 + 0,76) / 0,08 = 2,42 / 0,08 = 30,25

t₂ = (1,66 − 0,76) / 0,08 = 0,9 / 0,08 = 11,25

Portanto, D(t) = 0 para t = 11,25 e t = 30,25. Como a concavidade é para cima, D(t) > 0 para t < 11,25 ou t > 30,25, e D(t) < 0 para 11,25 < t < 30,25.

O enunciado afirma que para t > 62h, SM1(t) ≥ SM2(t). Como 62 > 30,25, e para t > 30,25 a diferença D(t) é positiva, então para t > 62h temos D(t) > 0, ou seja, SM1(t) > SM2(t). Portanto, a afirmação é verdadeira.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o acreditar que, por serem funções quadráticas com concavidades diferentes (SM1 tem concavidade para cima, SM2 tem concavidade para baixo), a comparação seria complicada. No entanto, a diferença entre elas também é uma função quadrática, e a análise do sinal dessa diferença resolve a questão diretamente. O ponto crítico é identificar corretamente as raízes da diferença e o intervalo onde ela é positiva.

t (horas)

D(t) = SM1(t) − SM2(t)

SM1(t) ≥ SM2(t)?

t < 11,25

D(t) > 0 (positiva)

V

11,25 < t < 30,25

D(t) < 0 (negativa)

F

t > 30,25

D(t) > 0 (positiva)

V

t > 62 (caso do enunciado)

D(t) > 0 (positiva)

V

Alternativa C — ✅ Certo ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Para t > 62h, a diferença D(t) = SM1(t) − SM2(t) é positiva, pois t = 62 está além da raiz t = 30,25, e a concavidade da diferença é para cima. Portanto, SM1(t) > SM2(t) para todo t > 62h, o que satisfaz a condição SM1(t) ≥ SM2(t).

Alternativa E — ❌ Errado

A afirmação não é falsa. Como demonstrado, para t > 62h, a diferença D(t) é positiva, garantindo que SM1(t) ≥ SM2(t). A alternativa E estaria correta apenas se a diferença fosse negativa nesse intervalo, o que não ocorre.

Gabarito: letra C

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