Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2024

Função do segundo grau: interseção de funções e intervalos

Gabarito: letra B. A questão pede o intervalo que contém um valor de $t$ para o qual as funções $SM_1(t)$ e $SM_2(t)$ se igualam. A resolução envolve encontrar as raízes da equação resultante da igualdade e verificar qual intervalo contém uma dessas raízes. O gabarito oficial aponta o intervalo (30, 35) como o correto, o que indica que a raiz da equação $SM_1(t) = SM_2(t)$ está nesse intervalo.

Para resolver essa questão, precisamos entender o que significa igualar duas funções. Quando temos $SM_1(t) = SM_2(t)$, estamos procurando o(s) valor(es) de $t$ que tornam as duas funções iguais. Algebricamente, isso equivale a resolver a equação $SM_1(t) - SM_2(t) = 0$. Se ambas as funções forem do segundo grau, a diferença também será uma função do segundo grau (ou de grau menor), e suas raízes serão os pontos de interseção.

O contexto fornecido traz a teoria de equações do segundo grau, incluindo a fórmula resolutiva (conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara) e a análise do discriminante. A fórmula é:

O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina a natureza das raízes:

• Se $\Delta > 0$, há duas raízes reais e distintas.

• Se $\Delta = 0$, há duas raízes reais e iguais.

• Se $\Delta < 0$, não há raízes reais.

No entanto, o enunciado não fornece as expressões explícitas de $SM_1(t)$ e $SM_2(t)$. Sem essas expressões, não é possível calcular diretamente as raízes da equação $SM_1(t) = SM_2(t)$. A questão, portanto, depende de um texto-base ou de informações adicionais que não foram transcritas aqui. O que podemos fazer é ensinar o método de resolução e indicar o que observar no enunciado original.

O método geral para resolver esse tipo de questão é:

1. Igualar as funções: escrever $SM_1(t) = SM_2(t)$.

2. Reorganizar a equação: trazer todos os termos para um lado, obtendo uma equação do tipo $at^2 + bt + c = 0$ (se ambas forem do segundo grau).

3. Resolver a equação: usar a fórmula resolutiva para encontrar as raízes $t_1$ e $t_2$.

4. Verificar os intervalos: analisar cada alternativa e verificar se alguma das raízes pertence ao intervalo proposto.

Como o gabarito é a letra B, a raiz (ou uma das raízes) da equação $SM_1(t) = SM_2(t)$ está no intervalo (30, 35). Isso significa que, ao resolver a equação, encontraremos um valor de $t$ entre 30 e 35.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O intervalo (20, 25) não contém a raiz da equação $SM_1(t) = SM_2(t)$. Se a raiz estivesse nesse intervalo, o gabarito seria a letra A. Como o gabarito é B, a raiz não está entre 20 e 25.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

O intervalo (30, 35) contém o valor de $t$ para o qual $SM_1(t) = SM_2(t)$. Isso significa que, ao resolver a equação, encontramos uma raiz $t$ tal que $30 < t < 35$. É o intervalo que satisfaz a condição pedida.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O intervalo (40, 45) não contém a raiz da equação. Se a raiz estivesse nesse intervalo, o gabarito seria a letra C. Como o gabarito é B, a raiz não está entre 40 e 45.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O intervalo (50, 55) não contém a raiz da equação. Se a raiz estivesse nesse intervalo, o gabarito seria a letra D. Como o gabarito é B, a raiz não está entre 50 e 55.

Gabarito: letra B