Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402844

MatemáticaGeral

Código: ce402844
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2024

Cargo: Vest ( )

Segundo dado do Censo Escolar 2022, última edição da pesquisa com resultado publicado, do total de aluno da educação básica, 1,55 milhão tem alguma deficiência e está matriculado em turma da educação especial. Na classe comum (que reúne estudante com e sem deficiência), o número de matrícula da educação especial é igual a 1.400.000; na classe exclusiva para estudante com deficiência, esse quantitativo é de 150.000. O quadro a seguir mostra o número de estudante surdo, com deficiência auditiva e surdocego matriculado nesse tipo de turma, conforme o referido censo.

estudantes com

	surdez	deficiência auditiva	surdocegueira
classes comuns	17.150	37.500	550
classes exclusivas	3.500	2.700	100

Com base nessa informação, julgue o item a seguir.

Caso o número de matrícula em classe exclusiva a partir de 2023 tenha passado a crescer 10% a cada ano, em relação à quantidade de matrícula do ano anterior, então levará $\frac {log_{10}2}{(log_{10}11) -1}$ anos para que a quantidade de matrícula em classe exclusiva seja o dobro da quantidade registrada em 2023.

CCerto
EErrado

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GabaritoC — Certo

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Crescimento exponencial e logaritmos: o tempo para dobrar a matrícula

Gabarito: letra C (CERTO). A questão pede o tempo para a matrícula em classe exclusiva dobrar, com crescimento de 10% ao ano. O modelo é $M(t) = M_0 \cdot (1,1)^t$ , e queremos $M(t) = 2M_0$ . Resolvendo: $(1,1)^t = 2 \Rightarrow t = \frac{\log 2}{\log 1,1}$ . Como $\log 1,1 = \log \frac{11}{10} = \log 11 - \log 10 = \log 11 - 1$ , a expressão dada é exatamente $\frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 11 - 1}$ , que é o valor correto de $t$ .

O crescimento de 10% ao ano é um caso clássico de função exponencial. Quando uma grandeza cresce a uma taxa percentual fixa $i$ por período, o valor após $t$ períodos é dado por $M(t) = M_0 \cdot (1 + i)^t$ , onde $M_0$ é o valor inicial. Aqui, $i = 10\% = 0,1$ , então o fator de crescimento é $1,1$ . Queremos o tempo $t$ para que o valor dobre, ou seja, $M(t) = 2M_0$ . Substituindo na fórmula:

2M_0 = M_0 \cdot (1,1)^t \Rightarrow (1,1)^t = 2

Para isolar $t$ (que está no expoente), aplicamos logaritmo nos dois lados. Usando a propriedade $\log(a^b) = b \cdot \log a$ , temos:

t \cdot \log(1,1) = \log 2 \Rightarrow t = \frac{\log 2}{\log 1,1}

Agora, a chave da questão está em reescrever o denominador. Como $1,1 = \frac{11}{10}$ , e usando a propriedade do logaritmo do quociente $\log\left(\frac{a}{b}\right) = \log a - \log b$ , obtemos:

\log 1,1 = \log\left(\frac{11}{10}\right) = \log 11 - \log 10

Como o logaritmo é na base 10, $\log_{10} 10 = 1$ . Portanto:

\log 1,1 = \log_{10} 11 - 1

Substituindo de volta na expressão de $t$ :

t = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 11 - 1}

Que é exatamente a expressão fornecida no enunciado. Portanto, o item está certo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca não quer que você calcule o valor numérico de $t$ (que seria aproximadamente 7,27 anos). Ela quer que você manipule algebricamente a expressão do logaritmo. O candidato que tenta calcular $\log_{10} 11$ e $\log_{10} 2$ sem calculadora se perde, quando o caminho é apenas usar as propriedades dos logaritmos para transformar $\log 1,1$ em $\log 11 - 1$ . Perceba que o dado de 150.000 matrículas em classe exclusiva é um distrator: ele não entra no cálculo, pois o problema é sobre o tempo para dobrar, independentemente do valor inicial.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O raciocínio completo:

Modelo de crescimento: $M(t) = 150.000 \cdot (1,1)^t$ (o valor inicial não interfere no tempo para dobrar).
Condição de dobro: $M(t) = 2 \cdot 150.000 = 300.000$ .
Equação: $150.000 \cdot (1,1)^t = 300.000 \Rightarrow (1,1)^t = 2$ .
Aplicando logaritmo: $t = \frac{\log 2}{\log 1,1}$ .
Reescrevendo o denominador: $\log 1,1 = \log\left(\frac{11}{10}\right) = \log 11 - \log 10 = \log_{10} 11 - 1$ .
Resultado: $t = \frac{\log_{10} 2}{\log_{10} 11 - 1}$ , que coincide com a expressão do enunciado.

Gabarito: letra C (CERTO).

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Crescimento exponencial e logaritmos: o tempo para dobrar a matrícula

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO