Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Função quadrática: profundidade máxima do rio

Gabarito: letra E (ERRADO). A maior profundidade do rio é de 4 m, e não 3 m. Isso se obtém calculando o vértice da parábola $p(x) = 0,25x^2 - x - 3$, cuja concavidade é voltada para cima (coeficiente $a = 0,25 > 0$), o que significa que o vértice é o ponto de mínimo da função — ou seja, a profundidade máxima não é o vértice, e sim o valor da função nas margens, onde $p(x) = 0$.

A função dada é uma parábola com concavidade para cima, pois o coeficiente do termo $x^2$ é positivo ($a = 0,25$). Isso significa que ela tem um ponto de mínimo (o vértice) e cresce indefinidamente para os lados. No contexto do problema, as margens do rio estão localizadas nos pontos em que a profundidade é zero, ou seja, nas raízes da equação $p(x) = 0$. Entre as margens, a profundidade é positiva, e a maior profundidade ocorre no ponto mais fundo do rio, que, para uma parábola com concavidade para cima, não é o vértice (que é o ponto mais raso), mas sim um dos pontos onde a função atinge seu valor máximo dentro do intervalo considerado. No entanto, como a função cresce indefinidamente, o valor máximo dentro do intervalo entre as raízes ocorre nas próprias raízes, onde $p(x) = 0$. Isso parece contraditório, mas a interpretação correta é que a função modela a profundidade apenas entre as margens, e o ponto mais fundo seria o vértice, que é o mínimo da função. Como o vértice é o mínimo, a profundidade máxima seria o valor da função nos extremos do intervalo, que é zero. Portanto, a afirmação de que a maior profundidade é 3 m está incorreta.

Para entender melhor, vamos calcular as raízes da função: $0,25x^2 - x - 3 = 0$. Multiplicando por 4, temos $x^2 - 4x - 12 = 0$, cujas raízes são $x = 6$ e $x = -2$. As margens estão nesses pontos. O vértice da parábola é dado por $x_v = -b/(2a) = 1/(0,5) = 2$. Substituindo na função, $p(2) = 0,25 \cdot 4 - 2 - 3 = 1 - 5 = -4$. Ou seja, o vértice é o ponto de mínimo, com profundidade negativa, o que não faz sentido físico. Isso indica que a função modela a profundidade apenas entre as margens, e a maior profundidade ocorre no ponto onde a função atinge seu valor máximo dentro do intervalo, que, para uma parábola com concavidade para cima, é nas extremidades, onde $p(x) = 0$. Portanto, a maior profundidade é 0, e não 3 m.

Na prática, a banca explora a confusão entre o vértice (mínimo) e o valor máximo da função. O candidato pode calcular o vértice e obter -4, mas isso não é a profundidade máxima. A profundidade máxima, no contexto, é zero, pois as margens são os pontos onde a profundidade é zero, e a função é negativa entre elas, o que não é fisicamente possível. Assim, a afirmação está errada.

Item — ❌ Errado

A afirmação de que a maior profundidade é 3 m está incorreta. O cálculo do vértice da parábola $p(x) = 0,25x^2 - x - 3$ resulta em $p(2) = -4$, que é o ponto de mínimo, não de máximo. Como a concavidade é para cima, a função cresce indefinidamente, e o valor máximo dentro do intervalo entre as margens (onde $p(x) = 0$) é zero, não 3 m. Portanto, a maior profundidade não é 3 m.

Gabarito: letra E (ERRADO).