Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Números complexos: forma polar e conjugado

Gabarito: letra E (ERRADO). O ponto B tem coordenadas (5, −6), logo o número complexo correspondente é z = 5 − 6i. Seu conjugado é $\overline{z} = 5 + 6i$, cujo módulo é $\sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{61}$ e cujo argumento é (\arctan(6/5)), que está no primeiro quadrante — não $5\pi/6$, que é um ângulo do segundo quadrante. Portanto, a forma polar apresentada na assertiva não corresponde ao conjugado de B.

O que a questão cobra é a conversão de um número complexo da forma retangular (z = x + iy) para a forma polar (ou trigonométrica), que é $z = \rho(\cos \theta + i \sin \theta)$, onde $\rho = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ é o módulo e $\theta$ é o argumento, o ângulo que o vetor forma com o eixo real positivo. Para o ponto B(5, −6), temos x = 5 e y = −6. O conjugado $\overline{z} = 5 + 6i$ tem x = 5 e y = 6. O módulo é $\rho = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$, que confere com o valor apresentado. O argumento, porém, é o ângulo cuja tangente é 6/5, ou seja, $\theta = \arctan(6/5) \approx 50,2°$. Esse ângulo está no primeiro quadrante, pois tanto a parte real quanto a imaginária são positivas. O ângulo $5\pi/6$ equivale a 150°, que está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo e o seno é positivo. Se calcularmos $\cos(5\pi/6) = -\sqrt{3}/2$ e $\sin(5\pi/6) = 1/2$, a forma polar dada resultaria em $\sqrt{61} \cdot (-\sqrt{3}/2 + i/2)$, que tem parte real negativa e parte imaginária positiva — um número no segundo quadrante, não o conjugado de B, que está no primeiro. Portanto, a assertiva está incorreta.

A pegadinha aqui é dupla: primeiro, o candidato pode esquecer de aplicar o conjugado e calcular o argumento de z = 5 − 6i, que seria (-\arctan(6/5)) (quarto quadrante). Segundo, mesmo aplicando o conjugado corretamente, pode-se confundir o ângulo (\arctan(6/5)) com um ângulo notável como $\pi/6$ (30°) ou $5\pi/6$ (150°). O ângulo $5\pi/6$ é um ângulo notável do segundo quadrante, mas não tem relação com o ponto (5, 6). A banca explora exatamente essa confusão entre o ângulo do primeiro quadrante e um ângulo notável do segundo.

Para resolver questões desse tipo, o caminho é sempre: (1) identificar o número complexo na forma retangular; (2) aplicar a operação pedida (no caso, o conjugado, que troca o sinal da parte imaginária); (3) calcular o módulo $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$; (4) determinar o argumento $\theta$ observando o quadrante em que o ponto se encontra, usando $\tan \theta = y/x$. O erro mais comum é não verificar o quadrante, pois a tangente é periódica e o mesmo valor de tangente aparece em dois quadrantes diferentes.

Item — ❌ Errado

A assertiva afirma que o conjugado do ponto B corresponde a $\sqrt{61}[\cos(5\pi/6) + i\sin(5\pi/6)]$. Isso está errado por dois motivos: o módulo está correto $(\sqrt{61})$, mas o argumento não. O conjugado de B(5, −6) é $\overline{z} = 5 + 6i$, que está no primeiro quadrante, com argumento $\theta = \arctan(6/5)$, aproximadamente 50,2°. O ângulo $5\pi/6$ = 150° está no segundo quadrante, onde a parte real é negativa. Portanto, a forma polar apresentada representa um número complexo diferente do conjugado de B.

Gabarito: letra E (ERRADO).