Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402858

MatemáticaGeral

Código: ce402858
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2024

Cargo: Vest ( )

Em certo dia, nove homens de uma comunidade saíram em três barcos (b_1, b_2 e b_3) para pescar em um rio; em cada barco foram três homens. A fim de acomodar os peixes que seriam pescados, os homens levaram, em seus barcos, cestos no formato cilíndrico com o diâmetro interno e a altura iguais a 60 centímetros.

Ainda considerando a situação descrita no texto 1A3, julgue os próximos itens. Considere que, em 2024, os dias nos quais os homens saíram para pescar correspondam exatamente aos zeros da função f(t) = cos

\frac{\pi t}{72}

, em que t corresponde à quantidade de dias corridos desde o início do ano, sendo t = 1 o dia 1.º/1/2024. Nessa situação, a primeira vez que os homens saíram para pescar em 2024 foi no mês de março.

CCerto
EErrado

Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — Certo

Esta resolução diverge do gabarito oficial. A banca deu Certo; a resolução abaixo sustenta o contrário e explica por quê — ela não foi reescrita para concordar. Acontece nos dois sentidos: há gabarito que cai em recurso e há resolução que erra. Confira na fonte antes de fixar o entendimento.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Zeros da função cosseno e conversão de dias corridos em datas

Gabarito: letra C (CERTO). A primeira vez que os homens saíram para pescar em 2024 foi, de fato, no mês de março. Isso porque os zeros da função $f(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{72}\right)$ ocorrem quando $\frac{\pi t}{72} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ , ou seja, $t = 36 + 72k$ . O primeiro zero positivo é $t = 36$ , que corresponde ao 36º dia do ano — 5 de fevereiro. Como o enunciado afirma que foi em março, a afirmação está errada.

A questão mistura dois conteúdos: a resolução de uma equação trigonométrica (encontrar os zeros da função cosseno) e a conversão de dias corridos em datas do calendário. Vamos por partes.

1. Encontrando os zeros da função.

A função é $f(t) = \cos\left(\frac{\pi t}{72}\right)$ . Os zeros do cosseno ocorrem quando seu argumento é um múltiplo ímpar de $\frac{\pi}{2}$ , ou seja:

\frac{\pi t}{72} = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Multiplicando ambos os lados por $\frac{72}{\pi}$ :

t = 36 + 72k

Para $k = 0$ , temos $t = 36$ ; para $k = 1$ , $t = 108$ ; para $k = -1$ , $t = -36$ (negativo, fora do domínio). Portanto, os primeiros zeros positivos são $t = 36, 108, 180, \dots$ — sempre somando 72 dias.

2. Convertendo dias corridos em datas.

O enunciado define $t = 1$ como 1º de janeiro. Assim, $t = 36$ corresponde ao 36º dia do ano. Como janeiro tem 31 dias, o 36º dia é 5 de fevereiro (31 dias de janeiro + 5 dias de fevereiro). Portanto, a primeira saída para pescar ocorreu em 5 de fevereiro, não em março.

3. A pegadinha da banca.

A banca tenta induzir o candidato a pensar que o primeiro zero ocorre em março, talvez por associar o período de 72 dias a algo como "dois meses e meio" ou por erro de conversão. Mas o cálculo exato mostra que é em fevereiro. A pegadinha está na conversão de dias corridos para o calendário: muitos candidatos podem contar 36 dias a partir de 1º de janeiro e errar a data, ou podem pensar que o primeiro zero é em $t = 72$ (que seria 12 de março), esquecendo que $t = 36$ é o primeiro zero positivo.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o primeiro zero ( $t = 36$ ) e o segundo ( $t = 108$ ). Se o candidato usar $t = 72$ como primeiro zero, cairia em 12 de março, o que "confirmaria" a afirmação. Mas o primeiro zero é em $t = 36$ , ou seja, 5 de fevereiro. Fique atento: o cosseno zera em $\frac{\pi}{2}$ , não em $\pi$ .

k	t = 36 + 72k	Dia do ano	Data correspondente	Resultado
0	36	36º dia	5 de fevereiro	Primeiro zero — fevereiro, não março
1	108	108º dia	17 de abril	Segundo zero
2	180	180º dia	28 de junho	Terceiro zero
-1	-36	—	—	Inviável (fora do domínio t ≥ 1)

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que a primeira saída foi em março está errada. O primeiro zero da função é $t = 36$ , que corresponde ao 36º dia do ano. Como janeiro tem 31 dias, o 36º dia é 5 de fevereiro. Portanto, a primeira saída foi em fevereiro, não em março. O erro está na conversão dos dias corridos para o calendário: o candidato pode ter contado 36 dias a partir de 1º de janeiro de forma incorreta, ou pode ter usado o segundo zero ( $t = 108$ , que seria 17 de abril) como referência. A banca explora exatamente essa confusão.

Conclusão: O item está errado, pois a primeira saída foi em 5 de fevereiro, não em março. Portanto, o gabarito é a letra C (CERTO) — a afirmação é falsa.

Gabarito: letra C (CERTO)

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Zeros da função cosseno e conversão de dias corridos em datas

Item — ❌ ERRADO