Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402859

Função exponencial aplicada ao crescimento do peixe

Gabarito: letra C (CERTO). A função dada é $p(t) = 3 - 3 \cdot e^{-t/50}$ . Para que o peixe atinja 2 kg, resolvemos $3 - 3e^{-t/50} = 2$ , o que leva a $e^{-t/50} = 1/3$ . Aplicando logaritmo natural, obtemos $-t/50 = -\ln(3)$ , e com $\ln(3) = 1{,}1$ , encontramos $t = 55$ semanas. Portanto, a afirmação está correta.

A questão envolve uma função exponencial que modela o peso do peixe em função do tempo. O formato $p(t) = 3 - 3e^{-t/50}$ indica que o peso começa em $p(0) = 0$ kg (logo após a desova) e cresce assintoticamente até 3 kg, pois o termo exponencial tende a zero conforme $t$ aumenta. Esse tipo de função é comum em modelos de crescimento com limite máximo (capacidade de carga).

Para verificar se o peixe atinge 2 kg na 55ª semana, basta substituir $t = 55$ na função e conferir se o resultado é 2. Vamos fazer isso passo a passo:

Substituir $t = 55$ : $p(55) = 3 - 3e^{-55/50} = 3 - 3e^{-1{,}1}$ .
Usar a propriedade $e^{-1{,}1} = 1/e^{1{,}1}$ . Como $\ln(3) = 1{,}1$ , temos $e^{1{,}1} = 3$ .
Portanto, $e^{-1{,}1} = 1/3$ .
Substituir: $p(55) = 3 - 3 \cdot (1/3) = 3 - 1 = 2$ kg.

O cálculo confirma exatamente o valor proposto. A alternativa explora a relação entre a função exponencial e o logaritmo natural: para isolar o expoente, é necessário aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. O dado $\ln(3) = 1{,}1$ é fornecido justamente para permitir esse cálculo sem calculadora.

A pegadinha comum neste tipo de questão é inverter o sinal do expoente ou esquecer de aplicar o logaritmo corretamente. Por exemplo, alguns alunos podem escrever $e^{-t/50} = 3$ em vez de $1/3$ , o que levaria a um resultado negativo para $t$ . Outros podem confundir $\ln(3)$ com $\ln(1/3)$ , trocando o sinal. A chave é lembrar que, ao isolar o termo exponencial, o lado direito fica $1/3$ , e o logaritmo natural de $1/3$ é $-\ln(3)$ .

Guarde a relação fundamental: se $e^x = a$ , então $x = \ln(a)$ . E, para resolver $3 - 3e^{-t/50} = 2$ , o caminho é: subtrair 3, dividir por -3, aplicar $\ln$ e isolar $t$ . É exatamente esse fluxo que a alternativa testa.

Etapa	Expressão	Resultado
1	(3 - 3e^{-t/50} = 2)	(-3e^{-t/50} = -1)
2	(-3e^{-t/50} = -1)	(e^{-t/50} = 1/3)
3	(e^{-t/50} = 1/3)	$(-t/50 = \ln(1/3) = -\ln(3))$
4	(-t/50 = -1{,}1)	(t = 55)
5	(p(55) = 3 - 3e^{-1{,}1})	$(p(55) = 3 - 3 \cdot (1/3) = 2)$
6	(p(55) = 2)	Certo

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Resolvendo a equação:

3 - 3e^{-t/50} = 2 \Rightarrow -3e^{-t/50} = -1 \Rightarrow e^{-t/50} = \frac{1}{3}

Aplicando logaritmo natural dos dois lados:

\ln\left(e^{-t/50}\right) = \ln\left(\frac{1}{3}\right) \Rightarrow -\frac{t}{50} = -\ln(3)

Com $\ln(3) = 1{,}1$ , temos $-t/50 = -1{,}1$ , logo $t = 55$ semanas. O valor bate exatamente com o enunciado.

PEGA ESSA DICA!

Para questões com funções exponenciais, isole sempre o termo exponencial antes de aplicar o logaritmo. Aqui, o passo crítico é transformar $3 - 3e^{-t/50} = 2$ em $e^{-t/50} = 1/3$ . Depois, lembre-se de que $\ln(1/a) = -\ln(a)$ — é essa propriedade que resolve o sinal. Treine esse padrão: equação exponencial → isolar → logaritmo → isolar a variável.

Gabarito: letra C (CERTO).

Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Função exponencial aplicada ao crescimento do peixe

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO