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Questão de Matemática — Progressão Aritmética — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaProgressão Aritmética
Código
ce402862
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UESB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Se a_n é uma progressão aritmética em que os termos a_{64} = 35 e a_{128} = 3, então a soma de todos os termos entre 1 e 128 é igual a
  1. A19.
  2. B69,5.
  3. C1.408.
  4. D4.448.
  5. E8.896.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 4.448.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a S_128 = 4.448 — alternativa D.

A ideia por trás

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma, chamada de razão. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)r, que permite achar qualquer termo a partir do primeiro e da razão. A soma dos n primeiros termos é S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, que é a média entre o primeiro e o último multiplicada pelo número de termos.

A fórmula do termo geral relaciona cada termo com o primeiro e a razão: a_n = a_1 + (n-1)r. Se você tem dois termos, pode montar um sistema e achar a razão e o primeiro termo. A soma usa o primeiro e o último termo, então depois de achar a_1 e r, você pode calcular a soma diretamente. A razão pode ser negativa, indicando uma PA decrescente.

Esta questão fornece dois termos distantes (a_64 e a_128) e pede a soma dos 128 primeiros. Precisamos usar o termo geral para achar a razão e o primeiro termo, e então aplicar a fórmula da soma.

O que a questão dá

  • a_64 = 35

  • a_128 = 3

  • número de termos até a_128: 128

O que queremos: a soma dos 128 primeiros termos da progressão aritmética

Passo 1 — Montar as equações do termo geral

Temos dois termos conhecidos, a_64 e a_128. A fórmula do termo geral a_n = a_1 + (n-1)r nos dá uma equação para cada um, com as mesmas incógnitas a_1 e r. Escrever essas duas equações é o primeiro passo para resolver o sistema.

Por que esta fórmula: É a definição de PA: cada termo é o primeiro mais a razão multiplicada pelo número de passos (n-1).

an=a1+(n−1)⋅ra_n = a_1 + (n-1) \cdot r

De onde vem cada valor: ana_n = enunciado: a_64 = 35 e a_128 = 3 · nn = definição: posição do termo na PA · a1a_1 = definição: primeiro termo da PA · rr = definição: razão da PA

35=a1+63re3=a1+127r35 = a_1 + 63r \quad \text{e} \quad 3 = a_1 + 127r
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o expoente é (n-1), não n; por exemplo, usar 64r em vez de 63r.

Passo 2 — Subtrair as equações para achar a razão

As duas equações têm o mesmo a_1. Subtraindo uma da outra, o a_1 se cancela e sobra uma equação só com r, que podemos resolver.

Por que esta fórmula: Subtração de equações é um método para eliminar uma incógnita. Aqui, (a_1 + 127r) - (a_1 + 63r) = 3 - 35, simplificando para 64r = -32.

(a1+127r)−(a1+63r)=3−35(a_1 + 127r) - (a_1 + 63r) = 3 - 35

De onde vem cada valor: a1+127ra_1 + 127r = passo 1: equação para a_128 · a1+63ra_1 + 63r = passo 1: equação para a_64 · 33 = enunciado: a_128 = 3 · 3535 = enunciado: a_64 = 35

64r=−3264r = -32
r=−0,5r = \boxed{-0{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: subtrair 35 - 3 em vez de 3 - 35, o que daria r positivo.

Passo 3 — Substituir a razão para achar o primeiro termo

Com a razão conhecida, podemos voltar a uma das equações do passo 1 e isolar a_1. Usamos a equação de a_64 porque tem números menores.

Por que esta fórmula: A equação do termo geral com n=64: a_64 = a_1 + 63r. Substituindo r = -0,5, temos 35 = a_1 - 31,5, então a_1 = 66,5.

a1=a64−63⋅ra_1 = a_{64} - 63 \cdot r

De onde vem cada valor: a64a_{64} = enunciado: 35 · 6363 = definição: 64 - 1 · rr = passo 2: -0,5

a1=35−63⋅(−0,5)a_1 = 35 - 63 \cdot (-0{,}5)
a1=66,5a_1 = \boxed{66{,}5}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos na razão, resultando em a_1 = 3,5.

Passo 4 — Calcular a soma dos 128 primeiros termos

Agora temos o primeiro termo e o último (a_128 = 3). A fórmula da soma usa exatamente esses dois valores e o número de termos, então é o passo final.

Por que esta fórmula: A soma de uma PA é a média entre o primeiro e o último termo multiplicada pela quantidade de termos: S_n = (a_1 + a_n) * n / 2. Isso funciona porque a PA é simétrica em torno da média.

S128=(a1+a128)⋅1282S_{128} = \frac{(a_1 + a_{128}) \cdot 128}{2}

De onde vem cada valor: a1a_1 = passo 3: 66,5 · a128a_{128} = enunciado: 3 · 128128 = definição: número de termos da PA

S128=(66,5+3)⋅1282=4.448S_{128} = \frac{(66{,}5 + 3) \cdot 128}{2} = \boxed{4.448}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2, obtendo 8.896 (alternativa E).

Resposta: S_128 = 4.448 — alternativa D

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