Questão de Matemática — Equações Logarítmicas — CESPE / CEBRASPE 2024

Equações logarítmicas: resolvendo com propriedades e condições de existência

Gabarito: letra C. Aplicando as propriedades dos logaritmos (soma vira produto, subtração vira divisão) e a definição de logaritmo, chegamos à equação do 2º grau $x^2 - 4x - 2 = 0$, cujas raízes são $2 \pm \sqrt{2}$. Porém, ao verificar as condições de existência dos logaritmos ($x > 2$), apenas $x = 2 + \sqrt{2}$ é solução válida, pois $2 - \sqrt{2} \approx 0,59$ torna os logaritmandos $x - 2$ e $2x - 3$ negativos.

Para resolver equações logarítmicas, precisamos dominar três ferramentas essenciais. Primeiro, a definição de logaritmo: $\log_b a = c \iff a = b^c$. Segundo, as propriedades operatórias: o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos ($\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$), o logaritmo de um quociente é a diferença ($\log_b(x/y) = \log_b x - \log_b y$), e o logaritmo de uma potência é o expoente vezes o logaritmo ($\log_b(x^n) = n\log_b x$). Terceiro, e mais importante, as condições de existência: o logaritmando deve ser positivo e a base deve ser positiva e diferente de 1. Esse último ponto é o que mais derruba candidatos, pois muitas vezes encontramos raízes algébricas que não satisfazem a equação original.

Vamos aplicar isso à equação $\log_{10}(x+2) + \log_{10}(x-2) - \log_{10}(2x-3) = \log_{10}(2)$. Primeiro, combinamos os logaritmos do lado esquerdo usando as propriedades: a soma vira produto e a subtração vira divisão. Assim, temos $\log_{10}\left(\frac{(x+2)(x-2)}{2x-3}\right) = \log_{10}(2)$. Como as bases são iguais (base 10), podemos igualar os logaritmandos: $\frac{(x+2)(x-2)}{2x-3} = 2$. Multiplicando em cruz, obtemos $(x+2)(x-2) = 2(2x-3)$, que se expande para $x^2 - 4 = 4x - 6$, resultando na equação do 2º grau $x^2 - 4x + 2 = 0$.

Resolvendo essa equação pela fórmula de Bhaskara, temos $\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 - 8 = 8$, e as raízes são $x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$. Agora vem a etapa crucial: verificar as condições de existência. Os logaritmandos são $x+2$, $x-2$ e $2x-3$, e todos devem ser positivos. A condição mais restritiva é $x - 2 > 0$, ou seja, $x > 2$. A raiz $2 + \sqrt{2} \approx 3,41$ satisfaz essa condição, mas $2 - \sqrt{2} \approx 0,59$ não, pois tornaria $x-2$ e $2x-3$ negativos. Portanto, a única solução é $x = 2 + \sqrt{2}$.

A pegadinha clássica dessa questão é esquecer de verificar as condições de existência após resolver a equação algébrica. O candidato apressado encontra as duas raízes $2 \pm \sqrt{2}$ e marca a alternativa A ou D, sem perceber que uma delas invalida os logaritmos. A banca explora exatamente essa distração: as alternativas A e D apresentam pares de raízes, tentando induzir o aluno a acreditar que ambas são soluções. A alternativa B apresenta apenas $1 + \sqrt{2}$, que é uma raiz de uma equação diferente (se o termo independente fosse outro). A alternativa E apresenta $2 - \sqrt{2}$, que é justamente a raiz que deve ser descartada. A alternativa C, correta, traz apenas a raiz válida.

Guarde o critério decisivo: toda raiz encontrada deve ser testada nas condições de existência dos logaritmos. Esse é o filtro que separa as soluções algébricas das soluções reais da equação logarítmica.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta as duas raízes $1 - \sqrt{2}$ e $1 + \sqrt{2}$. Esses valores não são raízes da equação $x^2 - 4x + 2 = 0$ que obtivemos. Além disso, mesmo que fossem, $1 - \sqrt{2} \approx -0,41$ tornaria todos os logaritmandos negativos, invalidando a equação. A banca coloca um par de raízes para testar se o candidato resolveu corretamente a equação do 2º grau.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $1 + \sqrt{2}$. Esse valor não satisfaz a equação $x^2 - 4x + 2 = 0$ (pois $1 + \sqrt{2}$ é raiz de $x^2 - 2x - 1 = 0$). É um distrator que mistura os coeficientes da equação, levando o candidato a errar o cálculo de Bhaskara.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A solução correta é $x = 2 + \sqrt{2}$. Esse valor satisfaz a equação do 2º grau $x^2 - 4x + 2 = 0$ e, principalmente, respeita as condições de existência: $x + 2 > 0$, $x - 2 > 0$ e $2x - 3 > 0$. Como $2 + \sqrt{2} \approx 3,41 > 2$, todos os logaritmandos são positivos, e a equação original é válida.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta as duas raízes $2 - \sqrt{2}$ e $2 + \sqrt{2}$. De fato, essas são as raízes da equação do 2º grau que obtivemos, mas a raiz $2 - \sqrt{2} \approx 0,59$ não satisfaz as condições de existência, pois $x - 2 < 0$ e $2x - 3 < 0$. A banca coloca o par completo para testar se o candidato lembra de verificar o domínio da equação logarítmica.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta apenas $2 - \sqrt{2}$, que é justamente a raiz que deve ser descartada. É o distrator mais traiçoeiro, pois o valor é uma raiz algébrica da equação, mas não é solução da equação logarítmica original. O candidato que não verifica as condições de existência pode marcar esta alternativa, achando que a banca pediu apenas uma das raízes.

Gabarito: letra C