Questão de Matemática — Números Complexos — CESPE / CEBRASPE 2024

Números Complexos: Potenciação e Parte Imaginária

Gabarito: letra C. A parte imaginária de $\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i\right)^{2024}$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Isso porque o número complexo dado tem módulo 1 e argumento $\frac{\pi}{3}$; pela Primeira Fórmula de De Moivre, ao elevá-lo a 2024, o módulo permanece 1 e o argumento vira $2024 \cdot \frac{\pi}{3}$, que é congruente a $\frac{2\pi}{3}$ (módulo $2\pi$), cujo seno é $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

O problema envolve elevar um número complexo a uma potência muito alta. A forma algébrica $z = a + bi$ não é prática para isso, pois exigiria expandir um binômio de grau 2024. A saída é usar a forma trigonométrica (ou polar) do número complexo, que transforma a potenciação em uma operação simples sobre o módulo e o argumento.

Todo número complexo $z = a + bi$ pode ser escrito como $z = \rho(\cos\theta + i\,\text{sen}\,\theta)$, onde $\rho = \sqrt{a^2 + b^2}$ é o módulo e $\theta$ é o argumento (ângulo que o vetor forma com o eixo real). A Primeira Fórmula de De Moivre estabelece que, para elevar $z$ a uma potência $n$, basta elevar o módulo a $n$ e multiplicar o argumento por $n$:

No nosso caso, $z = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$. Calculando o módulo:

O argumento é o ângulo cujo cosseno é $\frac{1}{2}$ e cujo seno é $\frac{\sqrt{3}}{2}$, ou seja, $\theta = \frac{\pi}{3}$ (60°). Portanto, $z = \cos\frac{\pi}{3} + i\,\text{sen}\,\frac{\pi}{3}$.

Aplicando De Moivre com $n = 2024$:

A parte imaginária procurada é $\text{sen}\left(\frac{2024\pi}{3}\right)$. Para calcular esse seno, precisamos reduzir o ângulo ao primeiro ciclo (0 a $2\pi$). Dividindo 2024 por 6 (pois $\frac{2\pi}{\pi/3} = 6$): $2024 = 6 \cdot 337 + 2$. Assim, $\frac{2024\pi}{3} = 337 \cdot 2\pi + \frac{2\pi}{3}$. Como $337 \cdot 2\pi$ são voltas completas, o ângulo é congruente a $\frac{2\pi}{3}$ (120°).

O seno de $\frac{2\pi}{3}$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (ângulo do segundo quadrante, onde o seno é positivo). Portanto, a parte imaginária é $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

A pegadinha clássica aqui é esquecer de reduzir o ângulo ao primeiro ciclo e tentar calcular o seno de um ângulo enorme diretamente, ou confundir o seno com o cosseno. Outra armadilha é errar a redução: $\frac{2024\pi}{3}$ não é congruente a $\frac{\pi}{3}$, mas sim a $\frac{2\pi}{3}$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta $-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Esse seria o valor da parte imaginária se o ângulo final fosse $\frac{4\pi}{3}$ (ou $\frac{5\pi}{3}$), onde o seno é negativo. A banca tenta confundir o aluno que erra a redução do ângulo ou que esquece o sinal do seno no quadrante correto. O ângulo $\frac{2\pi}{3}$ está no segundo quadrante, onde o seno é positivo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $-\frac{1}{2}$. Esse valor seria o cosseno de $\frac{2\pi}{3}$ (com sinal trocado) ou o seno de $\frac{7\pi}{6}$. O aluno que confunde parte real com parte imaginária, ou que erra o sinal do seno, pode cair aqui. O seno de $\frac{2\pi}{3}$ é positivo e vale $\frac{\sqrt{3}}{2}$, não $-\frac{1}{2}$.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Apresenta $\frac{\sqrt{3}}{2}$. Como demonstrado, $z^{2024} = \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$. A parte imaginária é exatamente $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{2^{2024}}$. Esse valor não tem relação com o problema. O módulo do número complexo é 1, então $\rho^{2024} = 1$, não $\frac{1}{2^{2024}}$. O aluno que confunde o módulo com a parte real (que é $\frac{1}{2}$) e tenta elevar $\frac{1}{2}$ a 2024 pode marcar esta opção, mas isso seria a parte real de $z^{2024}$ se o ângulo fosse 0, o que não é o caso.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{3^{1012}}{2^{2024}}$. Esse valor parece uma tentativa de calcular $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2024}$, mas isso não é a parte imaginária. A parte imaginária de $z^{2024}$ é o seno do ângulo final, não a potência do coeficiente imaginário original. O aluno que eleva $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a 2024 (em vez de usar De Moivre) pode chegar a esse número, mas o raciocínio está errado.

Gabarito: letra C — a parte imaginária é $\frac{\sqrt{3}}{2}$.