Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

Parábola: equação a partir do vértice e de um ponto

Gabarito: letra E. A parábola com vértice em $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ e que passa por $(2, 22)$ tem equação $p(x) = 3x^2 + 4x + 2$. Isso se verifica porque, na forma canônica $p(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$, o coeficiente $a$ é determinado pelo ponto dado, resultando em $a = 3$; expandindo a expressão, obtém-se exatamente a alternativa E.

A parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto fixo (o foco) e de uma reta fixa (a diretriz). No plano cartesiano, toda parábola com eixo de simetria vertical pode ser representada por uma função polinomial do segundo grau $p(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. O vértice $V(x_v, y_v)$ é o ponto de máximo (se $a < 0$) ou de mínimo (se $a > 0$) da função, e suas coordenadas relacionam-se com os coeficientes por $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = p(x_v)$.

Uma forma prática de escrever a equação conhecendo o vértice é a forma canônica:

Nessa forma, o parâmetro $a$ controla a abertura e a concavidade da parábola. Para determinar $a$, basta substituir as coordenadas de um ponto conhecido da curva. No caso, temos $x_v = -\frac{2}{3}$ e $y_v = \frac{2}{3}$, e o ponto $(2, 22)$ pertence à parábola. Substituindo:

Com $a = 3$, a forma canônica fica:

Expandindo o quadrado:

Portanto, a equação procurada é $p(x) = 3x^2 + 4x + 2$, que corresponde à alternativa E.

A pegadinha clássica desse tipo de questão é o candidato confundir o sinal de $x_v$ ao montar a forma canônica: como o vértice tem $x_v = -\frac{2}{3}$, a expressão correta é $(x - (-\frac{2}{3})) = (x + \frac{2}{3})$. Trocar esse sinal leva a uma parábola com vértice em $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$, que não é a pedida. Outra armadilha é errar a expansão do quadrado da soma, especialmente o termo do meio ($2 \cdot x \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}x$).

Guarde o método: com o vértice, use a forma canônica; com um ponto, determine $a$; depois expanda e compare com as alternativas. É exatamente esse fluxo que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $p(x) = \frac{51}{16}x^2 + \frac{17}{4}x + \frac{3}{4}$ tem vértice com $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{17/4}{2 \cdot 51/16} = -\frac{17/4}{51/8} = -\frac{2}{3}$, que coincide com o vértice pedido. Porém, ao calcular $y_v = p\left(-\frac{2}{3}\right)$, obtém-se $\frac{3}{4}$, e não $\frac{2}{3}$. Além disso, testando o ponto $(2, 22)$: $p(2) = \frac{51}{16} \cdot 4 + \frac{17}{4} \cdot 2 + \frac{3}{4} = \frac{51}{4} + \frac{17}{2} + \frac{3}{4} = \frac{51 + 34 + 3}{4} = \frac{88}{4} = 22$. O ponto passa, mas o vértice não — a parábola tem a mesma abscissa do vértice, porém deslocada verticalmente. O erro está no termo constante, que deveria ser $\frac{2}{3}$ e não $\frac{3}{4}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $p(x) = x^2 - \frac{4x}{3} + \frac{10}{9}$ tem vértice em $x_v = -\frac{-4/3}{2} = \frac{2}{3}$ e $y_v = p\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} - \frac{8}{9} + \frac{10}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. O vértice é $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$, com o sinal da abscissa trocado em relação ao pedido ($-\frac{2}{3}$). Além disso, $p(2) = 4 - \frac{8}{3} + \frac{10}{9} = \frac{36 - 24 + 10}{9} = \frac{22}{9} \neq 22$. Essa alternativa corresponde à parábola com vértice espelhado no eixo y, um distrator comum.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $p(x) = 12x^2 - 16x + 6$ tem vértice em $x_v = -\frac{-16}{24} = \frac{2}{3}$ e $y_v = p\left(\frac{2}{3}\right) = 12 \cdot \frac{4}{9} - 16 \cdot \frac{2}{3} + 6 = \frac{16}{3} - \frac{32}{3} + 6 = -\frac{16}{3} + 6 = \frac{2}{3}$. O vértice é $\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$, novamente com a abscissa trocada. Testando o ponto: $p(2) = 48 - 32 + 6 = 22$. O ponto passa, mas o vértice não — mesma armadilha da alternativa B, com coeficientes diferentes.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $p(x) = x^2 + \frac{4x}{3} + \frac{10}{9}$ tem vértice em $x_v = -\frac{4/3}{2} = -\frac{2}{3}$ e $y_v = p\left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{9} - \frac{8}{9} + \frac{10}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$. O vértice coincide com o pedido, mas o ponto $(2, 22)$ não pertence à curva: $p(2) = 4 + \frac{8}{3} + \frac{10}{9} = \frac{36 + 24 + 10}{9} = \frac{70}{9} \neq 22$. O coeficiente $a = 1$ é pequeno demais para que a parábola atinja $y = 22$ em $x = 2$ partindo do vértice dado — o valor correto é $a = 3$.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, a forma canônica com vértice $\left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$ é $p(x) = a\left(x + \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}$. Substituindo o ponto $(2, 22)$: $22 = a\left(\frac{8}{3}\right)^2 + \frac{2}{3} \Rightarrow a = 3$. Expandindo: $p(x) = 3\left(x^2 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}\right) + \frac{2}{3} = 3x^2 + 4x + 2$. Confere-se também que $p\left(-\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 2 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + 2 = -\frac{4}{3} + 2 = \frac{2}{3}$, e $p(2) = 12 + 8 + 2 = 22$. Todos os dados do enunciado são satisfeitos.

Gabarito: letra E