Questão de Matemática — Razões e Funções Trigonométricas. Ciclo Trigonométrico. — CESPE / CEBRASPE 2024

Trigonometria: tangente a partir do seno no 1º quadrante

Gabarito: letra A. Se $\operatorname{sen}\theta = \frac{1}{4}$ e $\theta$ está no 1º quadrante, então $\cos\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$ (pela relação fundamental $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$) e, portanto, $\operatorname{tg}\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta} = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$. A alternativa A é a única que apresenta esse valor.

A questão cobra a aplicação direta das relações fundamentais da trigonometria. O ponto de partida é a relação fundamental: para qualquer ângulo $\theta$, vale $\operatorname{sen}^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Com o seno dado, isolamos o cosseno: $\cos^2\theta = 1 - \operatorname{sen}^2\theta = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$. Como $\theta$ está no 1º quadrante, o cosseno é positivo, logo $\cos\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

Em seguida, usamos a definição de tangente: $\operatorname{tg}\theta = \frac{\operatorname{sen}\theta}{\cos\theta}$. Substituindo os valores: $\operatorname{tg}\theta = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}}$. Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador por $\sqrt{15}$: $\frac{1}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

A pegadinha clássica desta questão é o aluno esquecer de racionalizar o denominador e marcar a alternativa B ($\sqrt{15}$), que é o valor de $\frac{1}{\cos\theta}$ (a secante), ou a alternativa E ($\frac{\sqrt{15}}{4}$), que é o valor do cosseno. É fundamental lembrar que a tangente é a razão entre seno e cosseno, e que o resultado deve ser apresentado com denominador racional.

Guarde o fluxo: relação fundamental → cosseno → definição de tangente → racionalização. É exatamente esse caminho que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, $\operatorname{tg}\theta = \frac{\sqrt{15}}{15}$. O cálculo completo: $\cos\theta = \sqrt{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ e $\operatorname{tg}\theta = \frac{1/4}{\sqrt{15}/4} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Apresenta $\sqrt{15}$, que é o valor de $\frac{1}{\cos\theta}$ (a secante de $\theta$), não da tangente. O aluno que esquece de dividir pelo cosseno e apenas inverte o seno chega a esse valor.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{1}{3}$, que não corresponde a nenhuma razão trigonométrica direta do ângulo. É um distrator numérico sem relação com os cálculos.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{15}}{16}$. Esse valor surge se o aluno, ao calcular a tangente, dividir $\frac{1}{4}$ por $\frac{\sqrt{15}}{4}$ e errar a simplificação, obtendo $\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{1}{\sqrt{15}}$, mas depois multiplicar por $\sqrt{15}$ no denominador sem simplificar corretamente, ou se confundir na racionalização.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Apresenta $\frac{\sqrt{15}}{4}$, que é exatamente o valor do cosseno de $\theta$. O aluno que calcula o cosseno corretamente, mas esquece de aplicar a definição de tangente, marca esta alternativa.

Gabarito: letra A