Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402867

Cálculo de área de triângulo com trigonometria

Gabarito: letra A. A área do triângulo ABC é $S = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ . Isso porque, com os ângulos $\widehat{A} = 30^\circ$ e $\widehat{C} = 60^\circ$ , o triângulo é retângulo em B, e o lado $\bar{BC} = 3$ (oposto a $\widehat{A}$ ) é o cateto menor; o cateto adjacente a $\widehat{A}$ (lado AB) mede $3\sqrt{3}$ , e a área é $S = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ .

O problema envolve um triângulo com dois ângulos conhecidos: $\widehat{A} = 30^\circ$ e $\widehat{C} = 60^\circ$ . Pelo teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo (que vale $180^\circ$ ), o terceiro ângulo $\widehat{B}$ é:

\widehat{B} = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ

Ou seja, o triângulo ABC é retângulo em B. Isso é o ponto-chave: a partir daqui, podemos usar as relações trigonométricas no triângulo retângulo para encontrar os lados e, então, calcular a área.

No triângulo retângulo, o lado $\bar{BC} = 3$ é o cateto oposto ao ângulo $\widehat{A} = 30^\circ$ . O lado $\bar{AB}$ é o cateto adjacente a $\widehat{A}$ . Usando a tangente de $30^\circ$ :

\tan 30^\circ = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{BC}{AB}

Sabemos que $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ . Então:

\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{AB} \Rightarrow AB = \frac{3 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}

Agora temos os dois catetos: $BC = 3$ e $AB = 3\sqrt{3}$ . A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:

S = \frac{BC \cdot AB}{2} = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}

A alternativa correta é a letra A.

A pegadinha desta questão está em reconhecer que o triângulo é retângulo. Muitos alunos tentam aplicar a Lei dos Cossenos ou a Lei dos Senos diretamente, o que complica o cálculo. Mas, ao perceber que $\widehat{B} = 90^\circ$ , o problema se reduz a uma simples aplicação de tangente e da fórmula da área. Além disso, é preciso lembrar dos valores notáveis: $\tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ e $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca não diz explicitamente que o triângulo é retângulo. O candidato que não calcula o ângulo $\widehat{B}$ pode tentar usar a Lei dos Senos ou dos Cossenos, errando o caminho. O segredo é sempre verificar se a soma dos ângulos dados resulta em $90^\circ$ — isso transforma o problema em algo muito mais simples.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Como demonstrado, o triângulo é retângulo em B, com catetos $BC = 3$ e $AB = 3\sqrt{3}$ . A área é $S = \frac{3 \cdot 3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$ . O cálculo está correto e a alternativa espelha exatamente o resultado.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $S = \frac{9\sqrt{3}}{3}$ é igual a $3\sqrt{3}$ . Esse número corresponde ao comprimento do cateto $AB$ , não à área. O aluno que erra aqui provavelmente confundiu o valor de um lado com a área, ou simplificou incorretamente a fração $\frac{9\sqrt{3}}{2}$ .

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $S = \frac{3}{4}$ é um número pequeno, sem relação com o problema. Ele não corresponde a nenhuma medida do triângulo. Provavelmente é um distrator aleatório, ou resultado de um erro de cálculo grosseiro (como usar $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ de forma incorreta).

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ é a área de um triângulo equilátero de lado 3, não deste triângulo retângulo. O aluno que marca esta opção provavelmente confundiu o triângulo dado com um equilátero, ou aplicou a fórmula $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$ sem verificar os ângulos.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $S = \frac{9\sqrt{3}}{8}$ é a metade do valor correto. Isso sugere que o aluno pode ter dividido o resultado por 2 novamente, ou usado uma base/altura incorreta. O erro provável é ter calculado a área como $\frac{1}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}$ , esquecendo que a fórmula da área já inclui o fator $\frac{1}{2}$ .

Gabarito: letra A