Questão de Matemática — Geometria Analítica — CESPE / CEBRASPE 2024

Geometria Analítica: reta que passa pelos pontos de interseção de duas circunferências

Gabarito: letra E. A reta que passa pelos pontos A e B, onde as duas circunferências se interceptam, é obtida subtraindo as equações das circunferências, o que elimina os termos quadráticos e resulta na equação da reta (eixo radical). Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos $8x + 12y + 3 = 0$, que é a alternativa E.

O problema envolve dois conceitos fundamentais da Geometria Analítica: a equação de uma circunferência e a interseção de duas curvas. A equação geral de uma circunferência com centro $(x_0, y_0)$ e raio $r$ é $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$. No enunciado, temos duas circunferências com o mesmo raio ($r = 3$), mas com centros diferentes: a primeira tem centro $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ e a segunda tem centro $C_2 = (-\frac{1}{2}, -1)$.

Quando duas circunferências se interceptam, os pontos de interseção (A e B) são as soluções do sistema formado pelas duas equações. Para encontrar a reta que passa por esses dois pontos, podemos usar uma propriedade importante: a diferença entre as duas equações das circunferências resulta em uma equação linear, que é exatamente a equação da reta que contém os pontos de interseção. Essa reta é chamada de eixo radical das duas circunferências.

Vamos aplicar esse método. Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

Expandindo os quadrados:

Simplificando, os termos $x^2$ e $y^2$ se cancelam:

Multiplicando toda a equação por -2 para simplificar os coeficientes:

Essa é a equação da reta que passa pelos pontos A e B. No entanto, essa equação não aparece diretamente nas alternativas. Precisamos verificar se alguma das alternativas é equivalente a essa equação. Multiplicando a equação $4x + 6y + 1 = 0$ por 2, obtemos $8x + 12y + 2 = 0$, que também não está nas opções. Vamos verificar a alternativa E: $8x + 12y + 3 = 0$. Essa equação é diferente da que encontramos. Parece que houve um erro no meu cálculo. Vamos refazer com mais cuidado.

Subtraindo a segunda equação da primeira:

Expandindo:

Cancelando $x^2$ e $y^2$:

Multiplicando por -2:

Agora, vamos verificar se a alternativa E é equivalente. A alternativa E é $8x + 12y + 3 = 0$. Dividindo por 2, obtemos $4x + 6y + 1.5 = 0$, que não é igual a $4x + 6y + 1 = 0$. Portanto, a alternativa E não é equivalente à equação que encontrei. Isso indica que meu cálculo pode estar incorreto. Vamos verificar a subtração novamente, mas agora subtraindo a primeira da segunda:

Expandindo:

Cancelando $x^2$ e $y^2$:

Multiplicando por 4:

Essa é exatamente a alternativa E. Portanto, a reta que passa pelos pontos A e B é $8x + 12y + 3 = 0$.

O erro no meu primeiro cálculo foi na expansão dos quadrados. Ao subtrair a segunda equação da primeira, os sinais dos termos da segunda equação devem ser invertidos corretamente. Vamos detalhar:

Primeira equação: $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = 9$

Segunda equação: $(x + \frac{1}{2})^2 + (y + 1)^2 = 9$

Subtraindo a segunda da primeira:

$(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 - (x + \frac{1}{2})^2 - (y + 1)^2 = 0$

Expandindo cada termo:

$(x^2 - x + \frac{1}{4}) + (y^2 - y + \frac{1}{4}) - (x^2 + x + \frac{1}{4}) - (y^2 + 2y + 1) = 0$

Agora, distribuindo o sinal de menos:

$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4} - x^2 - x - \frac{1}{4} - y^2 - 2y - 1 = 0$

Agrupando termos semelhantes:

$(x^2 - x^2) + (-x - x) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + (y^2 - y^2) + (-y - 2y) + (-1) = 0$

$-2x + \frac{1}{4} - 3y - 1 = 0$

$-2x - 3y - \frac{3}{4} = 0$

Multiplicando por -1:

$2x + 3y + \frac{3}{4} = 0$

Multiplicando por 4:

$8x + 12y + 3 = 0$

Portanto, a alternativa correta é a letra E.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A equação $8x + 4y + 3 = 0$ não é a reta que passa pelos pontos de interseção. Se substituirmos os pontos de interseção (que são soluções do sistema), essa equação não será satisfeita. O erro está nos coeficientes de $x$ e $y$: a reta correta tem coeficientes proporcionais a $8x + 12y + 3 = 0$, ou seja, a razão entre os coeficientes de $x$ e $y$ é $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$, enquanto na alternativa A a razão é $\frac{8}{4} = 2$. Isso indica que a reta A tem uma inclinação diferente da correta.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A equação $6x - 4y - 1 = 0$ também não é a reta correta. A razão entre os coeficientes de $x$ e $y$ é $\frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$, que é diferente de $\frac{2}{3}$. Além disso, o termo constante é -1, enquanto na reta correta o termo constante é 3 (após multiplicar por 4). Portanto, essa reta não passa pelos pontos A e B.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A equação $6x - 4y + 1 = 0$ tem a mesma inclinação da alternativa B, mas com termo constante diferente. A razão entre os coeficientes é $\frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$, que não corresponde à reta correta. Portanto, essa reta também não passa pelos pontos de interseção.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A equação $12y + 3 = 0$ representa uma reta horizontal, pois não há termo em $x$. A reta correta tem coeficiente de $x$ diferente de zero, portanto não é horizontal. Além disso, a reta correta não é paralela ao eixo x, pois os pontos de interseção têm coordenadas $y$ diferentes.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação $8x + 12y + 3 = 0$ é exatamente a reta que obtivemos ao subtrair as equações das circunferências. Essa reta é o eixo radical, que contém todos os pontos que têm o mesmo poder em relação às duas circunferências, incluindo os pontos de interseção A e B. Portanto, essa é a resposta correta.

Gabarito: letra E