Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2024
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce402869
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UESB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
São formadas sequências de cinco algarismos obedecendo-se às seguintes regras: • cada entrada de uma sequência deve ser um dos algarismos 1, 2, 3, 4 ou 5; • em cada sequência, os algarismos correspondentes a duas entradas consecutivas devem ser distintos. Nessa situação, a quantidade de sequências que podem ser formadas é igual a
A24.
B96.
C120.
D1.024.
E1.280.
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GabaritoE — 1.280.
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 1.280 sequências — alternativa E.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ferramenta para contar quantas maneiras diferentes existem de montar algo em etapas: se a primeira etapa tem a opções e a segunda tem b opções, o total é a × b. Aqui, montar a sequência é uma tarefa de 5 etapas, uma para cada posição, e a restrição de que vizinhos não podem ser iguais muda quantas opções cada etapa tem.
A regra é local: cada posição, a partir da segunda, só precisa ser diferente da posição imediatamente anterior. Isso significa que, depois de escolher o primeiro algarismo (5 opções), cada uma das 4 posições seguintes tem 4 opções — qualquer um dos 5 algarismos, exceto o que está na posição anterior. O total é o produto 5 × 4 × 4 × 4 × 4. Se a restrição fosse que todos fossem distintos, seria 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120; se não houvesse restrição, seria 5⁵ = 3125. A restrição de vizinhança fica entre esses dois extremos.
Esta questão cobra exatamente o PFC com uma restrição de vizinhança: entender que a escolha de cada posição depende apenas da posição anterior, não de todas as anteriores. O passo a passo mostra como aplicar isso posição por posição.
O que a questão dá
sequência de 5 posições
algarismos disponíveis: 1, 2, 3, 4, 5
algarismos consecutivos devem ser distintos
O que queremos: o número total de sequências possíveis
Passo 1 — Escolher o primeiro algarismo
A primeira posição não tem vizinho anterior, então pode ser qualquer um dos 5 algarismos. Essa é a primeira etapa da contagem.
NÃO CAIA NESSA!
Nenhum erro comum aqui, mas é importante registrar que são 5 opções, pois isso será multiplicado pelas próximas etapas.
Passo 2 — Escolher o segundo algarismo
A segunda posição deve ser diferente da primeira. Como há 5 algarismos no total e 1 já foi usado, restam 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Pensar que o segundo algarismo também tem 5 opções, esquecendo a restrição de ser diferente do primeiro.
Passo 3 — Escolher o terceiro algarismo
A terceira posição deve ser diferente da segunda, mas pode ser igual à primeira, pois a restrição é apenas com o vizinho imediato. Portanto, ainda temos 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o terceiro algarismo não pode ser igual ao primeiro, o que reduziria as opções para 3. A restrição é só com o vizinho.
Passo 4 — Escolher o quarto algarismo
Mesma lógica: deve ser diferente do terceiro, mas pode repetir qualquer outro, então são 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Confundir com a regra de todos distintos, que daria 3 opções aqui.
Passo 5 — Escolher o quinto algarismo
A última posição também só precisa ser diferente da quarta, então temos 4 opções.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que a restrição é local e achar que a última posição tem menos opções.
Passo 6 — Multiplicar as opções de cada posição
Pelo princípio fundamental da contagem, o total de sequências é o produto das opções de cada etapa. Agora que temos todas as quantidades, basta multiplicar.
Por que esta fórmula: O PFC diz que, se uma tarefa tem etapas independentes, o número total de maneiras é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, cada escolha de algarismo é uma etapa, e as opções são 5, 4, 4, 4 e 4.
De onde vem cada valor: = passo 1 · = passo 5
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120, pensando que todos os algarismos devem ser distintos. A restrição é apenas entre vizinhos.