Questão de Matemática — Determinantes — CESPE / CEBRASPE 2024

Determinante de matriz de ordem 2 e inequação do 2º grau

Gabarito: letra D. O determinante da matriz é $\det(M) = (x-1)(x+2) - (-2)\cdot\frac{1}{2} = x^2 + x - 1$. Para que seja positivo, precisamos resolver $x^2 + x - 1 > 0$, cujas raízes são $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Como a parábola tem concavidade para cima, o determinante é positivo fora do intervalo entre as raízes, ou seja, $x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, \infty\right)$.

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 é um número associado à matriz, calculado como o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária. Para a matriz $M = \begin{bmatrix} x-1 & -2 \\ \frac{1}{2} & x+2 \end{bmatrix}$, temos:

Desenvolvendo o produto $(x-1)(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2$. O segundo termo é $(-2) \cdot \frac{1}{2} = -1$, mas como está subtraindo, temos $-(-1) = +1$. Portanto:

Agora precisamos resolver a inequação $x^2 + x - 1 > 0$. As raízes da equação $x^2 + x - 1 = 0$ são encontradas pela fórmula de Bhaskara:

Ou seja, as raízes são $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}$ e $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}$.

Como o coeficiente $a = 1 > 0$, a parábola tem concavidade para cima. Isso significa que a função é positiva para valores de $x$ menores que a raiz menor ou maiores que a raiz maior, e negativa entre as raízes. Portanto, a solução da inequação é:

A pegadinha clássica desta questão é inverter o sinal da inequação: muitos candidatos, ao verem $x^2 + x - 1 > 0$, lembram que "entre as raízes" a função é negativa, mas aplicam isso ao contrário, marcando o intervalo entre as raízes. A regra é: para $a > 0$, a função é positiva fora do intervalo das raízes; para $a < 0$, é positiva dentro. Outra pegadinha é errar o cálculo do determinante, especialmente o sinal do termo $(-2) \cdot \frac{1}{2}$, que muitos calculam como $-1$ e esquecem de subtrair, obtendo $x^2 + x - 3$ e raízes com $\sqrt{13}$.

Guarde o passo a passo: (1) calcular o determinante corretamente, (2) identificar a inequação do 2º grau, (3) encontrar as raízes, (4) analisar o sinal conforme a concavidade. É exatamente nessa sequência que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta as raízes com $\sqrt{13}$, que seriam as raízes da equação $x^2 + x - 3 = 0$. Isso ocorre quando o determinante é calculado erroneamente como $x^2 + x - 3$, provavelmente por um erro de sinal no termo $(-2) \cdot \frac{1}{2}$. O cálculo correto do determinante é $x^2 + x - 1$, cujas raízes envolvem $\sqrt{5}$, não $\sqrt{13}$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o determinante é positivo para todo $x \in \mathbb{R}$. Isso seria verdade se o discriminante da equação fosse negativo (ou seja, se a parábola não cortasse o eixo x e ficasse sempre acima dele). Porém, $\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 5 > 0$, então a função assume valores negativos entre as raízes. Portanto, o determinante não é positivo para todo $x$ real.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta o intervalo entre as raízes $\left(-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}\right)$. Como a concavidade da parábola é para cima ($a = 1 > 0$), a função é negativa nesse intervalo, não positiva. É exatamente o oposto do que se pede. O candidato que marca esta opção inverteu o sinal da inequação.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. O determinante é $x^2 + x - 1$, cujas raízes são $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Como a parábola tem concavidade para cima, o determinante é positivo para $x$ menor que a raiz menor ou maior que a raiz maior, exatamente o intervalo apresentado: $\left(-\infty, -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}, \infty\right)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa apresenta o intervalo entre as raízes, mas com as raízes erradas ($\sqrt{13}$ em vez de $\sqrt{5}$). Duplamente incorreta: primeiro, o intervalo é o oposto do correto (a função é negativa entre as raízes); segundo, as raízes estão erradas, pois o determinante correto é $x^2 + x - 1$, não $x^2 + x - 3$.

A regra de ouro para questões de sinal de função quadrática: com $a > 0$, a função é positiva fora das raízes e negativa entre elas; com $a < 0$, é o contrário. Decore isso e você resolve qualquer inequação do 2º grau sem erro.

Gabarito: letra D