Questão de Matemática — Geometria Espacial — CESPE / CEBRASPE 2024

Geometria Espacial: esfera inscrita em cone equilátero

Gabarito: letra E. A maior esfera que cabe dentro do cone é a esfera inscrita, cujo raio é o inraio da seção meridiana (triângulo equilátero de lado 30 cm). Para um triângulo equilátero, o inraio é $r = \frac{l\sqrt{3}}{6} = \frac{30\sqrt{3}}{6} = 5\sqrt{3}$ cm. O volume da esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (5\sqrt{3})^3 = 500\pi\sqrt{3}$ cm³.

A questão envolve a relação entre um cone e a esfera nele inscrita. Quando um cone é equilátero, sua seção meridiana (o corte que passa pelo vértice e pelo centro da base) é um triângulo equilátero. A esfera inscrita no cone, ao ser cortada pelo mesmo plano, aparece como o círculo inscrito nesse triângulo. Portanto, o raio da esfera é exatamente o inraio do triângulo equilátero.

O inraio de um triângulo equilátero de lado $l$ é dado por $r = \frac{l\sqrt{3}}{6}$. Essa fórmula vem da relação entre a área do triângulo ($A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$) e o semiperímetro ($p = \frac{3l}{2}$), pois $A = p \cdot r$. Substituindo $l = 30$ cm, temos $r = \frac{30\sqrt{3}}{6} = 5\sqrt{3}$ cm.

Com o raio da esfera, calculamos seu volume pela fórmula $V = \frac{4}{3}\pi r^3$. Substituindo $r = 5\sqrt{3}$:

$V = \frac{4}{3}\pi (5\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{4}{3}\pi \cdot 375\sqrt{3} = 500\pi\sqrt{3}$ cm³.

A pegadinha da banca está em confundir o raio da esfera com o raio da base do cone. No cone equilátero, o raio da base é $R = \frac{l}{2} = 15$ cm, e a altura é $h = \frac{l\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}$ cm. Se o candidato usar $R = 15$ cm como raio da esfera, obterá $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = 4500\pi$ cm³, que não está entre as alternativas. Outro erro comum é usar a altura do cone como diâmetro da esfera, o que também leva a um valor incorreto.

Guarde a distinção: a esfera inscrita no cone tem raio igual ao inraio da seção meridiana, não ao raio da base. É exatamente essa troca que as alternativas exploram.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $36.000\pi$ cm³ é muito maior que o volume correto. Esse número poderia surgir de um cálculo com um raio de 30 cm ($V = \frac{4}{3}\pi \cdot 30^3 = 36000\pi$), ou seja, o candidato usou o lado do triângulo como raio da esfera. O lado é 30 cm, mas o raio da esfera é $5\sqrt{3}$ cm, não 30 cm.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $45.000\pi$ cm³ também é exagerado. Ele poderia resultar de um raio de aproximadamente 32,5 cm, o que não corresponde a nenhuma medida do problema. Provavelmente é um distrator numérico sem relação direta com os dados, ou um erro de cálculo grosseiro.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $13.500\sqrt{3}\pi$ cm³ é incorreto. Se o candidato usasse o raio da base do cone ($R = 15$ cm) como raio da esfera, o volume seria $\frac{4}{3}\pi \cdot 15^3 = 4500\pi$ cm³, que não é este valor. Este número pode vir de um cálculo com $r = 15\sqrt{3}$ cm, que é a altura do cone, não o raio da esfera. $V = \frac{4}{3}\pi (15\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 3375 \cdot 3\sqrt{3} = 13500\sqrt{3}\pi$ cm³. Ou seja, a alternativa troca o raio da esfera pela altura do cone.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3375}{2}\sqrt{3}\pi$ cm³ é incorreto. Ele pode surgir de um cálculo com $r = \frac{15\sqrt{3}}{2}$ cm, que seria o raio de uma esfera com diâmetro igual à altura do cone ($15\sqrt{3}$ cm). $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{15\sqrt{3}}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot \frac{3375 \cdot 3\sqrt{3}}{8} = \frac{3375\sqrt{3}}{2}\pi$ cm³. Aqui, o candidato confunde o diâmetro da esfera com a altura do cone.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A esfera inscrita no cone equilátero tem raio igual ao inraio do triângulo equilátero da seção meridiana. Com lado $l = 30$ cm, o inraio é $r = \frac{l\sqrt{3}}{6} = \frac{30\sqrt{3}}{6} = 5\sqrt{3}$ cm. O volume da esfera é $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (5\sqrt{3})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \cdot 3\sqrt{3} = 500\pi\sqrt{3}$ cm³. O cálculo está correto e corresponde exatamente à alternativa E.

Gabarito: letra E