Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Geometria Plana: paralelismo e razão áurea

Gabarito: letra C (CERTO). As torres da catedral são paralelas porque as três linhas incluídas na imagem são paralelas entre si e perpendiculares às torres. Se duas retas são perpendiculares a uma mesma reta, então elas são paralelas entre si — este é o teorema que sustenta a afirmação.

O enunciado apresenta um contexto que mistura dois conceitos: a razão áurea (φ) e o paralelismo entre retas. A razão áurea, definida como a raiz positiva de f(x) = x² − x − 1, é um número irracional aproximadamente igual a 1,618. Ela aparece nas proporções dos comprimentos a, b e c das linhas, mas essa informação é um dado distrator — não é necessária para julgar o paralelismo das torres.

O que importa é a relação geométrica entre as linhas e as torres. O enunciado afirma que as três linhas são "paralelas entre si e perpendiculares às torres da catedral". Isso significa que cada uma das linhas forma um ângulo de 90° com a direção vertical das torres. Se todas as três linhas são perpendiculares às torres, então todas elas fazem o mesmo ângulo (90°) com a mesma reta de referência (a direção das torres).

Pelo teorema da perpendicularidade: se duas retas distintas são perpendiculares a uma mesma reta, então elas são paralelas entre si. Aplicando esse teorema sucessivamente — a linha a é perpendicular às torres, a linha b também é perpendicular às torres, logo a e b são paralelas; o mesmo raciocínio vale para b e c — concluímos que as torres, que são perpendiculares a todas essas linhas, são paralelas entre si.

Um exemplo concreto: imagine uma parede vertical (as torres) e três ripas horizontais fixadas nela, todas formando ângulo reto com a parede. As ripas são paralelas entre si, e a parede é perpendicular a todas elas. Se a parede fosse inclinada, as ripas não poderiam ser todas perpendiculares a ela — a perpendicularidade exige que a parede seja reta e vertical.

A pegadinha desta questão é justamente a presença da razão áurea e dos comprimentos a, b, c. O candidato pode tentar usar φ para calcular os comprimentos ou verificar alguma proporção, mas isso é irrelevante para o julgamento do paralelismo. A banca testa se o aluno consegue separar a informação relevante (a relação de perpendicularidade) da informação supérflua (a razão áurea).

Guarde o critério decisivo: duas retas perpendiculares a uma mesma reta são paralelas entre si. É exatamente esse teorema que resolve a questão, sem necessidade de qualquer cálculo com φ.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação "As torres da catedral são paralelas" é correta. O enunciado estabelece que as três linhas incluídas na imagem são paralelas entre si e perpendiculares às torres. Se as linhas são perpendiculares às torres, então as torres são perpendiculares às linhas. Como todas as linhas são paralelas entre si, elas compartilham a mesma direção. As torres, sendo perpendiculares a essa direção comum, são necessariamente paralelas entre si.

O teorema que fundamenta essa conclusão é um resultado clássico da geometria euclidiana: se duas retas são perpendiculares a uma mesma reta, então elas são paralelas. Aqui, as torres são as duas retas em questão, e qualquer uma das linhas (a, b ou c) serve como a reta de referência. Como as linhas são paralelas entre si, a perpendicularidade a uma delas implica perpendicularidade a todas, e o paralelismo das torres segue diretamente.

A razão áurea φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,618, embora presente no enunciado, não influencia em nada o julgamento. Ela apenas estabelece uma proporção entre os comprimentos das linhas, mas não altera o fato de que todas são perpendiculares às torres. O paralelismo é uma propriedade geométrica independente de medidas.

Gabarito: letra C (CERTO).