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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeral
Código
ce402880
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Ao ser modelado como uma partícula com certa velocidade no referencial inercial, um telescópio pode ser posicionado de modo a permanecer estacionário em outro referencial em movimento de rotação. Em tais posições, o telescópio sofre ação de forças gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra e descreve uma órbita kepleriana. Como estará estacionado no referencial em rotação, o telescópio deve estar a uma distância fixa do centro de massa do sistema Sol-Terra. Considerando-se que o telescópio se mova em uma trajetória circular, ele estará também sob a ação de uma força centrípeta. No balanceamento de força sobre o telescópio, observa-se que o sistema tem um ponto de equilíbrio no vértice de um triângulo equilátero, cuja base é formada pela linha que une as massas do Sol e da Terra. Por simetria, existe outro ponto de equilíbrio abaixo dessa mesma linha, sobre o vértice de um triângulo equilátero. Esses pontos estacionários são identificados por L4 e L5 na figura I a seguir; além destes, existem outros três pontos de equilíbrio, localizados sobre a linha que une as três massas, identificados por L1, L2 e L3 na figura I. A distância entre os centros do Sol e da Terra é designada por r e a distância entre a Terra e os pontos L1 e L2, por R, conforme a figura II.   figura I   figura II   Com base nessas informações, e assumindo que as massas do Sol, da Terra e do telescópio sejam iguais, respectivamente, a M, m e mt e que nenhuma força externa atue sobre o sistema de três corpos, julgue o item a seguir:   A distância da Terra até o centro de massa do sistema Sol-Terra é M⋅rm+M\frac{M \cdot r}{m + M}.Imagem associada para resolução da questãoImagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Centro de massa do sistema Sol-Terra

Gabarito: letra C (CERTO). A distância da Terra ao centro de massa do sistema Sol-Terra é dada por d=M⋅rm+Md = \frac{M \cdot r}{m + M}, exatamente como afirma o item. Isso decorre da definição de centro de massa de um sistema de duas partículas: tomando a Terra como origem, a posição do centro de massa é a média ponderada das posições pelas massas, resultando nessa expressão.

O centro de massa é o ponto que representa o equilíbrio das massas de um sistema. Para duas partículas de massas MM (Sol) e mm (Terra) separadas por uma distância rr, a posição do centro de massa em relação à Terra é calculada pela fórmula:

d=M⋅rm+Md = \frac{M \cdot r}{m + M}

Essa fórmula vem da definição geral de centro de massa: r⃗CM=∑mir⃗i∑mi\vec{r}_{CM} = \frac{\sum m_i \vec{r}_i}{\sum m_i}. Colocando a Terra na origem (r⃗m=0\vec{r}_m = 0) e o Sol na posição r⃗M=r\vec{r}_M = r (medida a partir da Terra), temos:

d=M⋅r+m⋅0M+m=M⋅rm+Md = \frac{M \cdot r + m \cdot 0}{M + m} = \frac{M \cdot r}{m + M}

Perceba que a distância é diretamente proporcional à massa do Sol (MM) e à separação total (rr), e inversamente proporcional à massa total do sistema. Isso faz sentido: quanto mais massivo o Sol, mais próximo o centro de massa fica dele (e, portanto, mais distante da Terra).

No contexto do problema, o telescópio está em um dos pontos de Lagrange (L4 ou L5), que formam triângulos equiláteros com o Sol e a Terra. Nesses pontos, o telescópio permanece estacionário no referencial rotativo, e a distância até o centro de massa é fixa. O item apenas pede a distância da Terra ao centro de massa do sistema Sol-Terra, que é uma aplicação direta da definição.

A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem inverter a fórmula, colocando a massa da Terra no numerador, ou esquecer de que a distância é medida a partir da Terra (e não do Sol). A fórmula correta usa a massa do Sol no numerador, pois o centro de massa fica mais próximo do corpo mais massivo.

  1. 1Origem na Terra
  2. 2Sol a distância r
  3. 3Média ponderada pelas massas
  4. 4d = M·r / (m+M)
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Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. A distância da Terra ao centro de massa do sistema Sol-Terra é exatamente M⋅rm+M\frac{M \cdot r}{m + M}, conforme deduzido acima. A fórmula é uma aplicação direta da definição de centro de massa para duas partículas, e o item a reproduz fielmente.

Gabarito: letra C (CERTO).

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