Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Pontos de Lagrange L4 e L5: triângulo equilátero e equidistância

Gabarito: letra C (CERTO). Se o telescópio está no ponto L4, sua distância ao Sol é igual à distância à Terra, pois L4 é o vértice de um triângulo equilátero cuja base é a linha que une o Sol e a Terra — e, por definição, todos os lados de um triângulo equilátero são iguais. O enunciado afirma expressamente que o ponto de equilíbrio está "no vértice de um triângulo equilátero, cuja base é formada pela linha que une as massas do Sol e da Terra", o que garante a equidistância.

Os pontos de Lagrange são posições no espaço onde as forças gravitacionais de dois corpos massivos (aqui, Sol e Terra) e a força centrípeta necessária para o movimento orbital se equilibram, permitindo que um terceiro corpo de massa desprezível (o telescópio) permaneça estacionário em relação aos dois primeiros. Existem cinco pontos de Lagrange, designados L1 a L5. Os pontos L1, L2 e L3 estão alinhados sobre a reta que une os dois corpos massivos; já L4 e L5 estão localizados nos vértices de triângulos equiláteros formados com a linha que une os dois corpos como base — um acima e outro abaixo dessa linha.

A propriedade geométrica central dos pontos L4 e L5 é justamente a formação de um triângulo equilátero com os dois corpos massivos. Um triângulo equilátero é aquele que possui os três lados com o mesmo comprimento. Portanto, se o Sol e a Terra formam a base do triângulo, e o telescópio está no vértice oposto, a distância do telescópio ao Sol (um dos lados) é necessariamente igual à distância do telescópio à Terra (o outro lado). Essa é uma consequência direta da definição de triângulo equilátero, sem necessidade de qualquer cálculo adicional.

Na prática, isso significa que, se a distância entre o Sol e a Terra é $r$, então a distância do telescópio em L4 (ou L5) até o Sol é também $r$, e a distância até a Terra é igualmente $r$. O telescópio forma, com o Sol e a Terra, um triângulo equilátero de lado $r$. Essa configuração é estável (no caso de L4 e L5, que são pontos de equilíbrio estável, ao contrário de L1, L2 e L3, que são instáveis), o que torna esses pontos ideais para posicionar satélites e observatórios espaciais.

A pegadinha que a banca poderia explorar seria confundir os pontos L4/L5 com os pontos L1/L2/L3, que estão sobre a linha que une os corpos. Para L1 e L2, as distâncias ao Sol e à Terra são diferentes (o enunciado inclusive define a distância $R$ entre a Terra e esses pontos). Mas a questão é específica sobre L4, e a característica que define L4 é exatamente a equidistância. Guarde essa distinção: L4 e L5 são os pontos "triangulares" (equidistantes), enquanto L1, L2 e L3 são os pontos "colineares" (não equidistantes).

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O enunciado define L4 como o vértice de um triângulo equilátero cuja base é a linha Sol-Terra. Em um triângulo equilátero, todos os lados são iguais. Portanto, a distância do telescópio (no vértice) ao Sol (um extremo da base) é igual à distância do telescópio à Terra (o outro extremo da base). Não há nenhuma condição adicional que quebre essa simetria — a massa do telescópio é desprezível e não afeta a geometria do problema, e a força centrípeta atua radialmente, sem alterar as distâncias.

Gabarito: letra C (CERTO).