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Questão de Matemática — Triângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc) — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaTriângulos: Conceito, Elementos e Classificação (Equilátero, Equiângulo, Isósceles, etc)
Código
ce402882
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Ao ser modelado como uma partícula com certa velocidade no referencial inercial, um telescópio pode ser posicionado de modo a permanecer estacionário em outro referencial em movimento de rotação. Em tais posições, o telescópio sofre ação de forças gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra e descreve uma órbita kepleriana. Como estará estacionado no referencial em rotação, o telescópio deve estar a uma distância fixa do centro de massa do sistema Sol-Terra. Considerando-se que o telescópio se mova em uma trajetória circular, ele estará também sob a ação de uma força centrípeta. No balanceamento de força sobre o telescópio, observa-se que o sistema tem um ponto de equilíbrio no vértice de um triângulo equilátero, cuja base é formada pela linha que une as massas do Sol e da Terra. Por simetria, existe outro ponto de equilíbrio abaixo dessa mesma linha, sobre o vértice de um triângulo equilátero. Esses pontos estacionários são identificados por L4 e L5 na figura I a seguir; além destes, existem outros três pontos de equilíbrio, localizados sobre a linha que une as três massas, identificados por L1, L2 e L3 na figura I. A distância entre os centros do Sol e da Terra é designada por r e a distância entre a Terra e os pontos L1 e L2, por R, conforme a figura II.   figura I   figura II   Com base nessas informações, e assumindo que as massas do Sol, da Terra e do telescópio sejam iguais, respectivamente, a M, m e mt e que nenhuma força externa atue sobre o sistema de três corpos, julgue o item a seguir:   O triângulo de vértices nos pontos L1, L3 e L4 é um triângulo retângulo.Imagem associada para resolução da questãoImagem associada para resolução da questão
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Pontos de Lagrange e a geometria do triângulo

Gabarito: letra E (ERRADO). O triângulo formado pelos pontos L1, L3 e L4 não é retângulo. Para verificar, precisamos analisar as posições relativas desses pontos conforme descrito no enunciado e nas figuras: L1 e L3 estão sobre a linha que une Sol e Terra, enquanto L4 está no vértice de um triângulo equilátero cuja base é essa mesma linha. A geometria resultante não produz um ângulo reto.

O problema descreve os pontos de Lagrange do sistema Sol-Terra. L1, L2 e L3 são colineares com os dois corpos massivos (estão sobre a linha que os une), enquanto L4 e L5 formam triângulos equiláteros com o Sol e a Terra. A questão pede para julgar se o triângulo com vértices em L1, L3 e L4 é retângulo.

Para resolver, precisamos entender a disposição geométrica. Vamos estabelecer um sistema de coordenadas: coloquemos o Sol na origem (0,0) e a Terra no ponto (r,0), onde r é a distância entre eles. Os pontos L1, L2 e L3 estão sobre o eixo x (a linha que une os dois corpos). O ponto L4, por estar no vértice de um triângulo equilátero de base Sol-Terra, tem coordenadas (r/2, r√3/2) — ou (r/2, -r√3/2) para L5, mas vamos focar em L4.

A posição exata de L1 e L3 sobre o eixo x depende das massas M (Sol) e m (Terra). L1 está entre o Sol e a Terra, mais próximo da Terra; L3 está do lado oposto ao Sol, além da Terra. As distâncias exatas são dadas pelas soluções do problema de três corpos restrito, mas para a análise qualitativa que a questão exige, basta saber que L1 e L3 estão no eixo x, em posições diferentes da Terra.

Agora, vamos analisar o triângulo L1-L3-L4. Os pontos L1 e L3 estão no eixo x, então o segmento L1L3 é horizontal. O ponto L4 está acima do eixo x (coordenada y positiva). Para que o triângulo seja retângulo, um dos ângulos deve ser de 90°. Vamos verificar as possibilidades:

  1. Ângulo reto em L4: Para isso, os vetores L4L1 e L4L3 deveriam ser perpendiculares. Isso ocorreria se o produto escalar (L1 - L4) · (L3 - L4) = 0. Como L1 e L3 estão no eixo x, e L4 tem coordenada y ≠ 0, isso só aconteceria se L1 e L3 estivessem em posições específicas simétricas em relação à projeção vertical de L4. Mas L1 e L3 não são simétricos em relação ao ponto médio do segmento Sol-Terra (r/2), pois as massas são diferentes (M >> m), o que desloca L1 e L3 para posições assimétricas. Portanto, o ângulo em L4 não é reto.

  1. Ângulo reto em L1 ou L3: Para isso, o segmento L1L4 (ou L3L4) deveria ser perpendicular ao eixo x, ou seja, vertical. Mas L4 tem coordenada x = r/2, enquanto L1 e L3 têm coordenadas x diferentes de r/2 (L1 está entre Sol e Terra, L3 está além da Terra). Portanto, os segmentos L1L4 e L3L4 não são verticais, e os ângulos em L1 e L3 não são retos.

Conclusão: o triângulo L1-L3-L4 não é retângulo. A afirmação está ERRADA.

Item — ❌ Errado

A afirmação de que o triângulo de vértices L1, L3 e L4 é retângulo está incorreta. Como demonstrado, L1 e L3 estão sobre a linha Sol-Terra (eixo x), enquanto L4 está no vértice de um triângulo equilátero, acima dessa linha. A assimetria das posições de L1 e L3 (devido à diferença de massas entre Sol e Terra) impede que qualquer um dos ângulos seja reto. Para que houvesse um ângulo reto, seria necessário que um dos lados fosse perpendicular a outro, o que não ocorre nessa configuração.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o triângulo equilátero formado por Sol-Terra-L4 (que tem todos os ângulos de 60°) e o triângulo L1-L3-L4, que não tem relação direta com esse equilátero. O candidato pode ser tentado a imaginar que, por L4 estar no vértice de um triângulo equilátero, qualquer triângulo envolvendo L4 seria especial — mas L1 e L3 não estão nos vértices desse equilátero, estão na base, em posições assimétricas.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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