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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeral
Código
ce402883
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
A intensidade sonora emitida por uma orquestra, ao interpretar, durante 30 minutos, uma peça que se repete de forma cíclica, pode ser representada, em decibéis (dB), pela expressão D(t) = 80 - 20 ⋅\cdot cos⁡\cos\left(π · t)/(4), em que 0 \le t \le 30 é o tempo, em minutos.   Na situação apresentada, a orquestra emite uma intensidade sonora máxima igual a 80 dB.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Função trigonométrica: valor máximo da intensidade sonora

Gabarito: letra E (ERRADO). A intensidade máxima não é 80 dB — é 100 dB. Isso porque o cosseno varia entre −1 e 1, e o valor máximo de D(t)D(t) ocorre quando cos⁡(πt4)=−1\cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) = -1, resultando em D(t)=80−20⋅(−1)=100D(t) = 80 - 20 \cdot (-1) = 100 dB. A afirmação do enunciado confunde o termo constante (80) com o valor máximo da função.

A função dada é D(t)=80−20⋅cos⁡(πt4)D(t) = 80 - 20 \cdot \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right), com 0≤t≤300 \le t \le 30. Para encontrar o valor máximo, precisamos analisar o comportamento do cosseno. A função cosseno, independentemente do argumento, tem imagem no intervalo [−1,1][-1, 1]. Ou seja, para qualquer valor de tt, temos:

−1≤cos⁡(πt4)≤1-1 \le \cos\left(\frac{\pi t}{4}\right) \le 1

Como o cosseno está sendo multiplicado por um número negativo (−20), o valor máximo de D(t)D(t) ocorre quando o cosseno assume seu valor mínimo, que é −1. Substituindo:

Dmaˊx=80−20⋅(−1)=80+20=100 dBD_{\text{máx}} = 80 - 20 \cdot (-1) = 80 + 20 = 100 \text{ dB}

O valor mínimo, por sua vez, ocorre quando o cosseno é máximo (1):

Dmıˊn=80−20⋅(1)=60 dBD_{\text{mín}} = 80 - 20 \cdot (1) = 60 \text{ dB}

Portanto, a intensidade sonora varia entre 60 dB e 100 dB, e não entre 60 dB e 80 dB como a afirmação sugere. O número 80 na expressão é o valor central (a média entre máximo e mínimo), não o máximo.

Um erro comum é pensar que, por aparecer o número 80 na fórmula, ele seja o valor máximo. Mas o termo 80 é apenas uma constante que desloca a função verticalmente. O comportamento oscilatório é dado pelo termo −20⋅cos⁡(...)-20 \cdot \cos(...), que faz a função variar 20 unidades para cima e para baixo em relação a 80.

Para visualizar, imagine que a função é uma onda que oscila entre 60 e 100 dB, com período de 8 minutos (pois o argumento do cosseno é πt4\frac{\pi t}{4}, e o período é 2ππ/4=8\frac{2\pi}{\pi/4} = 8). Durante os 30 minutos, a orquestra atinge o máximo de 100 dB várias vezes (em t=4,12,20,28t = 4, 12, 20, 28 minutos, por exemplo).

A pegadinha da banca está em confundir o termo constante da função com o valor máximo. O candidato que apenas olha para o número 80 e não analisa o comportamento do cosseno acaba marcando "Certo".

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a intensidade máxima é 80 dB. Isso está errado, pois o valor máximo é 100 dB. O erro está em não considerar que o cosseno pode assumir valor −1, o que faz com que o termo −20⋅cos⁡(...)-20 \cdot \cos(...) se torne +20, elevando o total para 100 dB. O número 80 é apenas o valor central da oscilação, não o máximo.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação de que a intensidade máxima é 80 dB está errada. O valor máximo é 100 dB, como demonstrado. Portanto, a alternativa correta é a que nega a afirmação do enunciado.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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