Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402884

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 8 minutos — alternativa C.

A ideia por trás

Uma função trigonométrica como o cosseno ou o seno descreve fenômenos que se repetem em intervalos regulares, como o som de uma orquestra que toca uma peça cíclica. O período é o menor intervalo de tempo após o qual a função volta a assumir os mesmos valores — é o tempo de um ciclo completo. No caso do cosseno, o período fundamental é 2π radianos, que é o ângulo necessário para dar uma volta inteira no círculo trigonométrico.

Para uma função do tipo f(t) = A + B·cos(b·t) ou f(t) = A + B·sen(b·t), o período é dado por P = 2π/|b|, onde b é o coeficiente que multiplica a variável t dentro da função. Quanto maior o valor de b, mais rápido a função oscila e menor é o período. As constantes A e B não afetam o período: A apenas desloca o gráfico verticalmente e B altera a amplitude (a altura das oscilações).

Esta questão pede exatamente o período da função D(t). Para encontrá-lo, basta identificar o coeficiente b dentro do cosseno e aplicar a fórmula P = 2π/|b|.

O que a questão dá

expressão da intensidade sonora: D(t) = 80 - 20·cos(π·t/4)
tempo de duração da peça: 30 minutos
domínio: 0 ≤ t ≤ 30

O que queremos: o tempo necessário para a orquestra completar um ciclo sonoro, ou seja, o período da função

Passo 1 — Identificar o coeficiente b dentro do cosseno

O período de uma função trigonométrica depende apenas do coeficiente que multiplica a variável t dentro do seno ou cosseno. Esse coeficiente determina a velocidade com que o ângulo varia, e é ele que vamos usar na fórmula do período.

Por que esta fórmula: Na expressão D(t) = 80 - 20·cos(π·t/4), o argumento do cosseno é (π·t)/4, que pode ser reescrito como (π/4)·t. Portanto, o coeficiente b é π/4.

b = \frac{\pi}{4}

De onde vem cada valor: $b$ = enunciado: dentro do cosseno, o termo que multiplica t é π/4

b = \boxed{\pi /4}

NÃO CAIA NESSA!

Confundir o denominador 4 com o período, achando que o ciclo dura 4 minutos — mas o período depende da razão 2π/b, não do denominador isolado.

Passo 2 — Aplicar a fórmula do período

Com o coeficiente b identificado, podemos calcular o período, que é o tempo de um ciclo completo. A fórmula P = 2π/|b| vem do fato de que o cosseno completa uma volta quando seu argumento varia de 2π.

Por que esta fórmula: A fórmula do período para funções do tipo f(t) = A + B·cos(b·t) é P = 2π/|b|, pois o cosseno tem período fundamental 2π e o coeficiente b acelera ou desacelera essa variação.

P = \frac{2\pi}{|b|}

De onde vem cada valor: $2\pi$ = definição: período fundamental do cosseno · $b$ = passo 1: π/4

P = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{4}} = \boxed{8\ \text{minutos}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o valor absoluto em |b|, mas aqui b é positivo, então não muda o resultado.

Passo 3 — Simplificar a divisão de frações

A expressão do período ficou com uma divisão de frações, que precisa ser simplificada para obter o valor numérico em minutos.

Por que esta fórmula: Dividir por uma fração é o mesmo que multiplicar pelo seu inverso: 2π ÷ (π/4) = 2π × (4/π).

P = 2\pi \times \frac{4}{\pi}

De onde vem cada valor: $2\pi$ = passo 2: numerador da fórmula · $\frac{4}{\pi}$ = passo 2: inverso de π/4

P = 2\pi \times \frac{4}{\pi} = \boxed{8\ \text{minutos}}

NÃO CAIA NESSA!

Cancelar o π incorretamente, mas aqui π cancela com π, sobrando 2 × 4 = 8.

Resposta: 8 minutos — alternativa C

Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Identificar o coeficiente b dentro do cosseno

Passo 2 — Aplicar a fórmula do período

Passo 3 — Simplificar a divisão de frações