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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeral
Código
ce402891
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )
Uma maneira de testar a eficiência de uma vacina é aplicá-la em metade de um grupo de pessoas e, na outra metade, aplicar placebo (isto é, um medicamento sem nenhuma ação específica nos sintomas da doença). No teste de uma vacina, um total de 100 pessoas foi separado em dois grupos, de 50 pessoas, e submetido ao procedimento descrito. Após determinado tempo, constatou-se que 40 pessoas haviam desenvolvido sintomas da doença que se buscava combater com a vacina: 5 delas eram do grupo que havia recebido a vacina e 35 delas eram do grupo que havia recebido o placebo.   Com base na situação apresentada anteriormente, julgue o item abaixo.   Caso, das 40 pessoas que desenvolveram sintomas, 5 delas fossem selecionadas ao acaso, sendo 3 entre as que receberam o placebo e as outras 2 entre as que receberam a vacina, então a quantidade de maneiras diferentes de fazer essa seleção seria inferior a 6.000.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoE — Errado

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Análise combinatória: combinação simples aplicada à seleção de pessoas

Gabarito: letra E (ERRADO). A quantidade de maneiras de selecionar 3 pessoas entre as 35 que receberam placebo e 2 entre as 5 que receberam vacina é dada pelo produto das combinações C35,3×C5,2=6545×10=65450C_{35,3} \times C_{5,2} = 6545 \times 10 = 65450, que é superior a 6.000. Portanto, a afirmação do item está incorreta.

O problema envolve o conceito de combinação simples, que é a forma de contar quantos grupos de um determinado tamanho podem ser formados a partir de um conjunto maior, sem levar em conta a ordem dos elementos. A fórmula é Cn,k=n!k!(n−k)!C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}, onde nn é o total de elementos e kk é o tamanho do grupo.

No contexto do enunciado, temos 100 pessoas divididas em dois grupos de 50: um grupo recebeu a vacina e o outro recebeu placebo. Após o período, 40 pessoas desenvolveram sintomas, sendo 5 do grupo da vacina e 35 do grupo do placebo. O item pede para calcular de quantas maneiras podemos selecionar 5 pessoas entre essas 40, sendo 3 do grupo placebo e 2 do grupo vacina.

Como a seleção é feita sem reposição e a ordem não importa (escolher as pessoas A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A), usamos combinação. Para o grupo placebo, temos C35,3C_{35,3}; para o grupo vacina, temos C5,2C_{5,2}. Como as escolhas são independentes, multiplicamos os resultados.

Vamos calcular:

  • C35,3=35!3!(35−3)!=35×34×333×2×1=392706=6545C_{35,3} = \frac{35!}{3!(35-3)!} = \frac{35 \times 34 \times 33}{3 \times 2 \times 1} = \frac{39270}{6} = 6545

  • C5,2=5!2!(5−2)!=5×42×1=10C_{5,2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

Multiplicando: 6545×10=654506545 \times 10 = 65450.

O resultado é 65.450, que é muito maior que 6.000. Portanto, a afirmação de que a quantidade seria inferior a 6.000 é falsa.

A pegadinha aqui é que o candidato pode tentar resolver por arranjo (considerando a ordem) ou pode errar o cálculo da combinação, subestimando o valor. Outra armadilha é pensar que basta multiplicar 35 × 5 = 175, ignorando que estamos escolhendo subconjuntos, não pares ordenados.

Caso

Atribuição

Resultado

Cálculo de (C_{35,3})

(35×34×333×2×1=6545)( \frac{35 \times 34 \times 33}{3 \times 2 \times 1} = 6545 )

Válido

Cálculo de (C_{5,2})

(5×42×1=10)( \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 )

Válido

Produto das combinações

(6545×10=65450)( 6545 \times 10 = 65450 )

Superior a 6.000

Comparação com o item

( 65450 > 6000 )

Item Errado

Item — ❌ ERRADO

O item afirma que a quantidade de maneiras seria inferior a 6.000. Como calculamos, o número correto é C35,3×C5,2=6545×10=65450C_{35,3} \times C_{5,2} = 6545 \times 10 = 65450, que é superior a 6.000. Portanto, o item está errado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o candidato a fazer uma conta simples (como 35 × 5 = 175) ou a usar arranjo em vez de combinação. A chave é perceber que a ordem não importa e que precisamos combinar as escolhas dos dois grupos. Com treino, você identifica rapidamente quando usar Cn,kC_{n,k}.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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