Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Volume de sólidos: cilindros concêntricos e conversão de unidades

Gabarito: letra E (ERRADO). O volume do sólido descrito é obtido pela diferença entre os volumes de dois cilindros concêntricos, cada um com altura de 40 cm, e o resultado, em m³, é $\frac{32\pi}{125}$, não $\frac{116\pi}{125}$. O erro está no cálculo do volume e na conversão de unidades.

O problema envolve o cálculo do volume de um sólido formado pela remoção das metades de dois cilindros concêntricos. Para resolver, precisamos entender o que isso significa geometricamente. Temos dois cilindros com o mesmo eixo (concêntricos), um com raio de 100 cm e outro com raio de 60 cm, ambos com altura de 40 cm. A "remoção das metades" indica que estamos considerando apenas metade do volume de cada cilindro, ou seja, o sólido resultante é a diferença entre metade do volume do cilindro maior e metade do volume do cilindro menor.

A fórmula para o volume de um cilindro é $V = \pi r^2 h$, onde $r$ é o raio da base e $h$ é a altura. O volume de um cilindro com raio $r$ e altura $h$ é a área da base ($\pi r^2$) multiplicada pela altura. Para dois cilindros concêntricos, o volume do sólido entre eles (uma "coroa cilíndrica") é a diferença entre o volume do cilindro externo e o volume do cilindro interno. Como o problema fala em "remoção das metades", devemos calcular metade do volume de cada cilindro e depois subtrair.

Vamos calcular passo a passo. Primeiro, convertemos as medidas para metros, pois a resposta é pedida em m³. Temos: 100 cm = 1 m e 60 cm = 0,6 m, e 40 cm = 0,4 m. O volume do cilindro maior (raio 1 m) é $V_{maior} = \pi (1)^2 (0,4) = 0,4\pi$ m³. O volume do cilindro menor (raio 0,6 m) é $V_{menor} = \pi (0,6)^2 (0,4) = \pi (0,36)(0,4) = 0,144\pi$ m³. A diferença entre os volumes é $V_{maior} - V_{menor} = 0,4\pi - 0,144\pi = 0,256\pi$ m³. Como o problema pede a remoção das metades, devemos dividir esse resultado por 2? Não exatamente. A expressão "remoção das metades de dois cilindros concêntricos" pode ser interpretada como: temos dois cilindros, e de cada um removemos metade, ou seja, o sólido final é a diferença entre metade do volume do cilindro maior e metade do volume do cilindro menor. Isso é equivalente a calcular metade da diferença dos volumes totais. Portanto, o volume do sólido é $\frac{1}{2}(V_{maior} - V_{menor}) = \frac{1}{2}(0,256\pi) = 0,128\pi$ m³. Agora, vamos expressar isso como uma fração: $0,128 = \frac{128}{1000} = \frac{16}{125}$. Então, o volume é $\frac{16\pi}{125}$ m³. Mas o enunciado afirma que o volume é $\frac{116\pi}{125}$ m³, o que é diferente. Portanto, o item está errado.

Vamos verificar se há outra interpretação. Se a "remoção das metades" significar que removemos metade do volume de cada cilindro, mas o sólido é formado pela diferença entre os volumes totais (sem dividir por 2), então o volume seria $V_{maior} - V_{menor} = 0,256\pi = \frac{256\pi}{1000} = \frac{32\pi}{125}$ m³. Isso também não é $\frac{116\pi}{125}$. Portanto, independentemente da interpretação, o valor apresentado está incorreto.

A pegadinha da questão está na conversão de unidades e no cálculo do volume. Muitos candidatos podem esquecer de converter centímetros para metros antes de calcular, ou podem errar na subtração dos volumes. Além disso, a interpretação de "remoção das metades" pode gerar confusão. O importante é lembrar que o volume de um cilindro é $\pi r^2 h$ e que, para sólidos compostos, devemos somar ou subtrair volumes conforme a descrição.

Item — ❌ Errado

O item afirma que o volume é igual a $\frac{116\pi}{125}$ m³. Vamos calcular corretamente. Convertendo as medidas para metros: raio maior = 1 m, raio menor = 0,6 m, altura = 0,4 m. O volume do cilindro maior é $V_1 = \pi (1)^2 (0,4) = 0,4\pi$ m³. O volume do cilindro menor é $V_2 = \pi (0,6)^2 (0,4) = 0,144\pi$ m³. A diferença é $V_1 - V_2 = 0,256\pi$ m³. Se considerarmos a remoção das metades, dividimos por 2: $\frac{0,256\pi}{2} = 0,128\pi = \frac{16\pi}{125}$ m³. Se não dividirmos, temos $\frac{32\pi}{125}$ m³. Nenhum desses valores é $\frac{116\pi}{125}$ m³. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).