Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2024 | Questão sqc-ce402893

MatemáticaGeral

Código: ce402893
Banca: CESPE / CEBRASPE
Órgão: UnB
Ano: 2024

Cargo: Vest ( )

Uma das características visuais mais marcantes do Palácio do Itamaraty em Brasília é a sua estrutura externa, formada por arcos de círculo conectados a paredes retas que vão até o chão. A figura I a seguir mostra parte da vista da entrada do palácio; nela, foi inserido o sistema de coordenadas cartesianas xOy, com dimensões em metros, usado como referência para o círculo esboçado na figura e para os pontos identificados pelas letras de A até F.

Internamente ao palácio há pontos interessantes na sua arquitetura como, por exemplo, a escadaria que forma um padrão em espiral com o mezanino, como mostrado na figura II. A vista superior dessa forma em espiral pode ser projetada no plano complexo e uma representação dessa forma é dada pelo número P a seguir, em que o valor do ângulo $\theta$ pode variar no intervalo $[0, 2\pi]$ .

P = \left(2θ)/(π) cos(θ + π) - 1 - i $\frac{2\theta}{\pi}$ $\text{sen}$ $\theta + \pi$

O palácio também chama a atenção pelo seu extenso acervo de obras de arte. Uma de suas obras de destaque é a obra Ponto de Encontro, de Mary Vieira, que pode ser vista na figura III. Esta obra de caráter abstrato-geométrico combina três volumes fixos, semelhantes a bancos, com um segmento móvel formado por placas concêntricas que giram em torno de um eixo fixo.

figura I

figura II

figura III

Tendo como referência as informações e as figuras precedentes, julgue o item a seguir. Em relação à figura II, para

\theta

\frac{5\pi}{4}

, o ponto P da espiral projetada no plano complexo será P = -

\frac{5\sqrt{2}}{4}

(1 + i).

CCerto
EErrado

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GabaritoE — Errado

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Números complexos: aplicação da fórmula da espiral

Gabarito: letra E (ERRADO). Para $\theta = \frac{5\pi}{4}$ , o ponto $P$ da espiral projetada no plano complexo é $P = \frac{5\sqrt{2}}{4}(1 - i)$ , e não $P = -\frac{5\sqrt{2}}{4}(1 + i)$ como afirma o item. O erro está no sinal da parte real: o cálculo correto resulta em parte real positiva e parte imaginária negativa, enquanto o item apresenta ambas negativas.

A questão pede para substituir o valor de $\theta$ na expressão que define o número complexo $P$ e verificar se o resultado coincide com o valor apresentado. Vamos analisar a expressão fornecida:

P = \left[ \frac{2\theta}{\pi} \cos(\theta + \pi) - 1 \right] - i \frac{2\theta}{\pi} \text{sen}(\theta + \pi)

O primeiro passo é substituir $\theta = \frac{5\pi}{4}$ na expressão. Vamos calcular cada parte separadamente para evitar erros.

Parte real:

\text{Re}(P) = \frac{2\theta}{\pi} \cos(\theta + \pi) - 1

Substituindo $\theta = \frac{5\pi}{4}$ :

\frac{2 \cdot \frac{5\pi}{4}}{\pi} = \frac{5}{2}

Agora, o argumento do cosseno: $\theta + \pi = \frac{5\pi}{4} + \pi = \frac{9\pi}{4}$ . Como o cosseno é uma função periódica com período $2\pi$ , podemos simplificar: $\frac{9\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi}{4}$ . Portanto, $\cos\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Assim, a parte real é:

\text{Re}(P) = \frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{5\sqrt{2}}{4} - 1

Parte imaginária:

\text{Im}(P) = -\frac{2\theta}{\pi} \text{sen}(\theta + \pi)

O coeficiente $\frac{2\theta}{\pi}$ já calculamos como $\frac{5}{2}$ . O seno: $\text{sen}\left(\frac{9\pi}{4}\right) = \text{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Portanto:

\text{Im}(P) = -\frac{5}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{4}

Resultado final:

P = \left(\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1\right) - i\frac{5\sqrt{2}}{4}

O item afirma que $P = -\frac{5\sqrt{2}}{4}(1 + i) = -\frac{5\sqrt{2}}{4} - i\frac{5\sqrt{2}}{4}$ . Comparando com o resultado correto, vemos que a parte imaginária coincide ( $-\frac{5\sqrt{2}}{4}$ ), mas a parte real é diferente: o correto é $\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1$ , enquanto o item traz $-\frac{5\sqrt{2}}{4}$ . Portanto, o item está errado.

NÃO CAIA NESSA!

A banca explora a confusão entre o sinal da parte real. O candidato pode calcular corretamente a parte imaginária e, ao ver o sinal negativo, assumir que a parte real também é negativa, sem realizar o cálculo completo. Lembre-se: a parte real tem um termo constante $-1$ que altera o resultado. Sempre calcule as duas partes separadamente e compare.

Componente	Valor correto (comentário)	Valor do item	Coincide?
Parte real	$(\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1)$	$(-\frac{5\sqrt{2}}{4})$	Não
Parte imaginária	$(-\frac{5\sqrt{2}}{4})$	$(-\frac{5\sqrt{2}}{4})$	Sim
Resultado (P)	$(\left(\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1\right) - i\frac{5\sqrt{2}}{4})$	$(-\frac{5\sqrt{2}}{4}(1 + i))$	Não

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO

O item está errado. O cálculo correto para $\theta = \frac{5\pi}{4}$ resulta em $P = \left(\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1\right) - i\frac{5\sqrt{2}}{4}$ , que não é igual a $-\frac{5\sqrt{2}}{4}(1 + i)$ . A parte real correta é $\frac{5\sqrt{2}}{4} - 1 \approx 0,77$ , um valor positivo, enquanto o item propõe $-\frac{5\sqrt{2}}{4} \approx -1,77$ . A parte imaginária está correta, mas a real não, tornando a afirmação falsa.

Gabarito: letra E (ERRADO).

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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Números complexos: aplicação da fórmula da espiral

Alternativa E — ❌ Errada ⟵ GABARITO