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Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

MatemáticaGeral
Código
ce402894
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
UnB
Ano
2024
Cargo
Vest ( )

Internamente ao palácio há pontos interessantes na sua arquitetura como, por exemplo, a escadaria que forma um padrão em espiral com o mezanino, como mostrado na figura II. A vista superior dessa forma em espiral pode ser projetada no plano complexo e uma representação dessa forma é dada pelo número P a seguir, em que o valor do ângulo θ\theta pode variar no intervalo [0,2π][0, 2\pi].

 

P = \left(2θ)/(π) cos(θ + π) - 1 - i 2θπ\frac{2\theta}{\pi} sen\text{sen}θ+π\theta + \pi

 

O palácio também chama a atenção pelo seu extenso acervo de obras de arte. Uma de suas obras de destaque é a obra Ponto de Encontro, de Mary Vieira, que pode ser vista na figura III. Esta obra de caráter abstrato-geométrico combina três volumes fixos, semelhantes a bancos, com um segmento móvel formado por placas concêntricas que giram em torno de um eixo fixo.

 

Imagem associada para resolução da questão

 

figura I

 

Imagem associada para resolução da questão

 

figura II

 

Imagem associada para resolução da questão

 

figura III

Tendo como referência as informações e as figuras precedentes, julgue o item a seguir.   O círculo na figura I, que forma o arco externo do Palácio do Itamaraty, é representado pela equação 18y - x^2 - y^2 = 72.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

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Equação da circunferência: identificando o círculo do Palácio do Itamaraty

Gabarito: letra C (CERTO). A equação 18y−x2−y2=7218y - x^2 - y^2 = 72 representa uma circunferência de centro (0,9)(0, 9) e raio 33, pois, completando os quadrados, obtém-se x2+(y−9)2=9x^2 + (y-9)^2 = 9. Essa é exatamente a equação reduzida de um círculo com centro no eixo das ordenadas e raio 3, que corresponde ao arco externo descrito na figura I.

A equação geral de uma circunferência tem a forma x2+y2+Dx+Ey+F=0x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0. Para identificar o círculo, precisamos completar quadrados e reescrever a equação na forma (x−a)2+(y−b)2=r2(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2, onde (a,b)(a, b) é o centro e rr é o raio. Essa transformação é a chave para reconhecer a figura geométrica a partir da expressão algébrica.

Vamos aplicar isso à equação dada: 18y−x2−y2=7218y - x^2 - y^2 = 72. Primeiro, reorganizamos os termos para agrupar as variáveis: −x2−y2+18y=72-x^2 - y^2 + 18y = 72. Multiplicamos toda a equação por −1-1 para facilitar a visualização: x2+y2−18y=−72x^2 + y^2 - 18y = -72. Agora, completamos o quadrado para a variável yy. O termo y2−18yy^2 - 18y pode ser escrito como (y−9)2−81(y - 9)^2 - 81, pois (y−9)2=y2−18y+81(y-9)^2 = y^2 - 18y + 81. Substituindo na equação, temos x2+(y−9)2−81=−72x^2 + (y-9)^2 - 81 = -72. Somando 81 em ambos os lados, obtemos x2+(y−9)2=9x^2 + (y-9)^2 = 9. Esta é a forma reduzida da equação de uma circunferência com centro em (0,9)(0, 9) e raio r=9=3r = \sqrt{9} = 3.

Na prática, o que fizemos foi reconhecer que a equação dada, embora não esteja na forma padrão, descreve um círculo com centro no eixo das ordenadas (pois a coordenada xx do centro é zero) e raio 3. Isso é consistente com a figura I, que mostra o arco externo do Palácio do Itamaraty. A pegadinha comum é o aluno não perceber que o sinal negativo em −x2−y2-x^2 - y^2 exige a multiplicação por −1-1 antes de completar quadrados, ou errar o sinal ao reorganizar os termos.

Guarde a fronteira entre a equação geral e a reduzida: é exatamente nela que a questão se decide. Se você completar os quadrados corretamente, o centro e o raio aparecem de forma imediata.

  1. 1Reorganizar termos
  2. 2Multiplicar por -1
  3. 3Completar quadrado em y
  4. 4Identificar centro e raio
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Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A equação 18y−x2−y2=7218y - x^2 - y^2 = 72 é equivalente a x2+(y−9)2=9x^2 + (y-9)^2 = 9, que representa uma circunferência de centro (0,9)(0, 9) e raio 33. O passo a passo: reorganizar os termos, multiplicar por −1-1, completar o quadrado em yy e simplificar. O resultado é exatamente a equação reduzida de um círculo com centro no eixo das ordenadas e raio 3, que corresponde ao arco externo descrito na figura I. Portanto, a afirmação está correta.

PEGA ESSA DICA!

Para verificar se uma equação representa uma circunferência, sempre tente reescrevê-la na forma (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2. Se conseguir, o centro é (a,b)(a, b) e o raio é rr. Se o coeficiente de x2x^2 e y2y^2 for negativo, multiplique toda a equação por −1-1 antes de completar quadrados. Isso evita erros de sinal.

Gabarito: letra C

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