Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Permutação simples: contando os convidados da Santa Ceia Moderna

Gabarito: letra C (CERTO). Se a figura central e os dois convidados das extremidades permanecem fixos, restam 10 convidados para serem permutados nos 10 lugares restantes da mesa, o que dá exatamente $10!$ permutações possíveis. A questão cobra o conceito de permutação simples, em que o número de maneiras de ordenar $n$ elementos distintos é $n!$.

A permutação simples é um dos conceitos fundamentais da análise combinatória. Ela responde à pergunta: "de quantas maneiras posso ordenar $n$ objetos distintos?". A resposta é o fatorial de $n$, ou seja, $P_n = n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 2 \times 1$. Por exemplo, com 3 pessoas, há $3! = 6$ maneiras de organizá-las em uma fila. A ideia central é que, para a primeira posição, temos $n$ opções; para a segunda, $n-1$; e assim por diante, até a última posição, que terá apenas 1 opção restante. Multiplicando todas as possibilidades, obtemos o fatorial.

No contexto da obra, a mesa tem 13 lugares: a figura central (que podemos pensar como o anfitrião) e 12 convidados. O enunciado fixa a posição da figura central e dos dois convidados das extremidades. Isso significa que esses três elementos não podem ser trocados de lugar — eles estão "congelados" em suas posições. Portanto, sobram exatamente 10 convidados para serem distribuídos nos 10 lugares restantes. Como cada convidado é distinto, o número de maneiras de organizá-los é a permutação simples de 10 elementos: $P_{10} = 10!$.

A pegadinha aqui é não confundir com a permutação circular. Em uma mesa redonda, se todos os lugares são equivalentes por rotação, o número de permutações seria $(n-1)!$. No entanto, a questão não trata de uma mesa circular genérica: ela fixa posições específicas (a figura central e os dois convidados das extremidades), o que quebra a simetria rotacional. Ao fixar esses elementos, a mesa se comporta como uma fila com lugares determinados, e a contagem correta é a permutação simples dos 10 convidados restantes. Se a banca quisesse cobrar permutação circular, ela não fixaria posições — mas fixou, e é exatamente isso que torna a resposta $10!$.

Outra confusão possível é pensar que, por serem 12 convidados no total, a resposta seria $12!$. Mas o enunciado é claro: a figura central e os dois convidados das extremidades permanecem na mesma posição. Logo, eles não participam da permutação. O que se permuta são apenas os "demais convidados", que são 10. A leitura atenta do enunciado é o ponto-chave para não errar.

Guarde a distinção: quando elementos são fixados, eles saem da contagem; quando a ordem importa e não há repetição, usa-se permutação simples ($n!$); quando há repetição, usa-se permutação com repetição; quando a mesa é circular e as posições são equivalentes por rotação, usa-se permutação circular ($(n-1)!$). Nesta questão, a fixação de posições específicas elimina a rotação, então a resposta é $10!$.

Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O enunciado fixa a figura central e os dois convidados das extremidades, restando 10 convidados para serem permutados nos 10 lugares restantes. Como todos os convidados são distintos, o número de permutações possíveis é $P_{10} = 10!$. A conta é direta: $10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 3.628.800$. Portanto, o item está CERTO.

Gabarito: letra C (CERTO).