Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Raízes da equação z^6 = z_0 no plano complexo

Gabarito: letra E (ERRADO). A fórmula apresentada no item está incorreta por dois motivos: (1) o argumento do cosseno e do seno deveria ser $\frac{\theta_0}{6} + \frac{k\pi}{3}$, mas o item omite o fator $i$ multiplicando o seno, escrevendo apenas $\text{sen}(\cdot)$ — o que transforma a expressão num número real, não complexo; (2) mesmo que o $i$ estivesse presente, a fórmula correta das raízes sextas de $z_0$ é $z_k = r^{1/6}\left[\cos\left(\frac{\theta_0}{6} + \frac{2k\pi}{6}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{\theta_0}{6} + \frac{2k\pi}{6}\right)\right]$, com $k \in \{0,1,2,3,4,5\}$ — o item usa $\frac{k\pi}{3}$ no lugar de $\frac{2k\pi}{6}$, o que é equivalente, mas troca o módulo $r^{1/6}$ por $r$, um erro grave.

A questão cobra a resolução de uma equação polinomial no conjunto dos números complexos: $z^6 = z_0$. Resolver essa equação significa encontrar todos os números complexos $z$ que, elevados à sexta potência, resultam em $z_0$. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, uma equação polinomial de grau 6 tem exatamente 6 raízes complexas (contando multiplicidades). Geometricamente, essas 6 raízes são os vértices de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio $|z_0|^{1/6}$ centrada na origem do plano complexo — exatamente o que o enunciado descreve ao falar das caixas de pizza.

Para entender a fórmula, é preciso dominar a forma trigonométrica (ou polar) de um número complexo. Todo número complexo $z = a + bi$ pode ser escrito como $z = \rho(\cos\theta + i\,\text{sen}\,\theta)$, onde $\rho = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ é o módulo e $\theta$ é o argumento (ângulo com o eixo real positivo). A fórmula de Moivre estabelece que $z^n = \rho^n[\cos(n\theta) + i\,\text{sen}(n\theta)]$. Para extrair raízes, invertemos o processo: se $z^n = w = r(\cos\theta_0 + i\,\text{sen}\,\theta_0)$, então as $n$ raízes são $z_k = r^{1/n}\left[\cos\left(\frac{\theta_0 + 2k\pi}{n}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{\theta_0 + 2k\pi}{n}\right)\right]$, com $k = 0, 1, \dots, n-1$. O termo $2k\pi/n$ garante que as raízes sejam igualmente espaçadas ao redor do círculo, formando um polígono regular de $n$ lados.

No caso específico, $n = 6$, então as raízes são $z_k = r^{1/6}\left[\cos\left(\frac{\theta_0}{6} + \frac{2k\pi}{6}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{\theta_0}{6} + \frac{2k\pi}{6}\right)\right]$. Note que $\frac{2k\pi}{6} = \frac{k\pi}{3}$, então o argumento do item está correto. O erro está no módulo: o item usa $r$ em vez de $r^{1/6}$. Isso é um erro conceitual grave, pois o módulo das raízes não é o módulo do número original, mas sim a raiz sexta dele. Por exemplo, se $r = 64$, as raízes teriam módulo $64^{1/6} = 2$, não $64$. Além disso, o item omite o fator $i$ no seno, o que é um erro de notação que torna a expressão um número real, não complexo.

A pegadinha da banca está em dois pontos: (1) a omissão do $i$ no seno, que é um erro sutil de notação — o candidato pode ler a fórmula rapidamente e não perceber que falta o $i$; (2) a troca do módulo $r^{1/6}$ por $r$, que é um erro conceitual — o candidato pode confundir o módulo do número original com o módulo das raízes. Para evitar esses erros, é fundamental lembrar que a fórmula de Moivre para raízes exige o módulo elevado a $1/n$ e o argumento dividido por $n$, com o acréscimo de $2k\pi/n$ para cada raiz.

Item — ❌ Errado

O item afirma que os vértices do hexágono são dados por $z_k = r \left[ \cos \left( \frac{\theta_0}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) + \text{sen} \left( \frac{\theta_0}{6} + \frac{k\pi}{3} \right) \right]$, com $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Há dois erros:

1. Omissão do fator $i$ no seno: a expressão correta é $\cos(\cdot) + i\,\text{sen}(\cdot)$. Sem o $i$, a expressão é um número real, não um número complexo. Isso é um erro de notação que invalida a fórmula.

1. Módulo incorreto: o item usa $r$ como módulo, mas o correto é $r^{1/6}$. As raízes sextas de $z_0$ têm módulo $r^{1/6}$, não $r$. Por exemplo, se $z_0 = 64(\cos 0 + i\,\text{sen}\,0)$, as raízes são $z_k = 2\left[\cos\left(\frac{2k\pi}{6}\right) + i\,\text{sen}\left(\frac{2k\pi}{6}\right)\right]$, com módulo 2, não 64.

O argumento $\frac{\theta_0}{6} + \frac{k\pi}{3}$ está correto, pois $\frac{2k\pi}{6} = \frac{k\pi}{3}$. Portanto, o item está errado.

Gabarito: letra E (ERRADO).