Questão de Matemática — Geral — CESPE / CEBRASPE 2024

Volume de um prisma hexagonal regular

Gabarito: letra C (CERTO). A caixa é um prisma hexagonal regular cuja base é um hexágono regular inscrito na circunferência da pizza (raio 15 cm). O volume é dado por $V = A_{base} \times h$, onde $A_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2$, com $l = 15$ cm (lado do hexágono igual ao raio da circunferência circunscrita). Assim, $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 15^2 \cdot 4 = 1350\sqrt{3}$ cm³, e não $1800\sqrt{3}$ cm³. Portanto, a afirmação está errada.

A questão envolve o cálculo do volume de um prisma hexagonal regular, um sólido geométrico que aparece na obra de Acme. Para resolver, precisamos entender a relação entre a pizza circular e a caixa hexagonal. O enunciado afirma que a pizza tangencia as paredes da caixa, o que significa que o círculo está inscrito no hexágono. No entanto, a informação crucial é que os vértices do hexágono podem ser representados pela equação $z^6 = z_0$, onde $z_0 = r[\cos(\theta_0) + i\text{sen}(\theta_0)]$. Essa equação descreve as raízes sextas de um número complexo, que formam um hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio $r$. Portanto, o hexágono da base da caixa tem seus vértices sobre uma circunferência de raio $r$, e a pizza, com raio 15 cm, tangencia as paredes, ou seja, a pizza está inscrita no hexágono. Isso significa que a circunferência da pizza é a circunferência inscrita no hexágono, e não a circunferência circunscrita. Precisamos, então, encontrar a relação entre o raio da circunferência inscrita e o lado do hexágono regular.

Para um hexágono regular, a apótema (raio da circunferência inscrita) é dada por $a = \frac{l\sqrt{3}}{2}$, onde $l$ é o lado. Como a pizza tangencia as paredes, o raio da pizza (15 cm) é igual à apótema do hexágono. Portanto, $15 = \frac{l\sqrt{3}}{2}$, o que nos dá $l = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ cm. Agora, podemos calcular a área da base hexagonal: $A_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (10\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 300 = 450\sqrt{3}$ cm². Com a altura de 4 cm, o volume é $V = A_{base} \times h = 450\sqrt{3} \times 4 = 1800\sqrt{3}$ cm³. Portanto, a afirmação está correta.

A pegadinha da questão está em identificar corretamente qual circunferência (inscrita ou circunscrita) representa a pizza. O enunciado diz que a pizza "tangencia suas paredes", o que indica que a pizza está inscrita no hexágono, e não que o hexágono está inscrito na pizza. Se o candidato interpretar erroneamente que o raio da pizza é o raio da circunferência circunscrita ao hexágono (ou seja, o lado do hexágono é 15 cm), o cálculo resultaria em um volume diferente: $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 15^2 \cdot 4 = 1350\sqrt{3}$ cm³, que não corresponde ao valor apresentado. A banca explora exatamente essa confusão entre circunferência inscrita e circunscrita.

Para resolver problemas de volume de prismas, é fundamental dominar as fórmulas de área de figuras planas, especialmente polígonos regulares. No caso do hexágono regular, a área pode ser calculada como $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot l^2$, onde $l$ é o lado. Essa fórmula é derivada da decomposição do hexágono em seis triângulos equiláteros. Além disso, é importante lembrar que, em um hexágono regular, o raio da circunferência circunscrita é igual ao lado, e a apótema é $\frac{l\sqrt{3}}{2}$. Essas relações são essenciais para conectar as dimensões da pizza com as da caixa.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. O raio da pizza (15 cm) é igual à apótema do hexágono regular da base da caixa, pois a pizza tangencia as paredes. Assim, $a = 15$ cm, e o lado do hexágono é $l = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ cm. A área da base é $A_{base} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (10\sqrt{3})^2 = 450\sqrt{3}$ cm². Multiplicando pela altura de 4 cm, obtemos o volume $V = 450\sqrt{3} \times 4 = 1800\sqrt{3}$ cm³, exatamente o valor indicado no enunciado.

Gabarito: letra C (CERTO).