Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — CESPE / CEBRASPE 2024

Equivalências Lógicas: Condicional com Condicionais

Gabarito: letra C. A proposição $(P \Rightarrow Q) \Rightarrow (R \Rightarrow S)$ é equivalente a $(R \Rightarrow S) \lor \sim(P \Rightarrow Q)$, pois a equivalência fundamental da condicional estabelece que $A \Rightarrow B$ equivale a $\sim A \lor B$. Aplicando essa regra com $A = (P \Rightarrow Q)$ e $B = (R \Rightarrow S)$, obtemos exatamente a alternativa C.

A equivalência lógica é uma relação entre proposições que possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, assumem os mesmos valores lógicos (V ou F) para todas as combinações possíveis de suas proposições simples. Quando duas proposições são equivalentes, podemos substituir uma pela outra em qualquer contexto sem alterar o valor lógico da proposição maior. Essa é a base para simplificar expressões lógicas e para construir argumentos válidos.

A regra central desta questão é a equivalência da condicional: a proposição "se A, então B" ($A \Rightarrow B$) é logicamente equivalente a "não A ou B" ($\sim A \lor B$). Essa equivalência reflete o significado da condicional: ela só é falsa quando o antecedente (A) é verdadeiro e o consequente (B) é falso. Em todos os outros casos — A falso (independente de B) ou A verdadeiro e B verdadeiro — a condicional é verdadeira. A disjunção $\sim A \lor B$ captura exatamente isso: é falsa apenas quando $\sim A$ é falso (ou seja, A é verdadeiro) e B é falso.

Vamos aplicar essa regra à proposição do enunciado. Temos a estrutura $X \Rightarrow Y$, onde $X = (P \Rightarrow Q)$ e $Y = (R \Rightarrow S)$. Pela equivalência da condicional, $X \Rightarrow Y$ equivale a $\sim X \lor Y$. Substituindo X e Y, obtemos $\sim(P \Rightarrow Q) \lor (R \Rightarrow S)$, que é exatamente a alternativa C (a ordem dos termos na disjunção não altera o valor lógico, pois a disjunção é comutativa).

A pegadinha desta questão é que a banca não pede a negação da proposição, mas sim a equivalência. Muitos candidatos confundem os dois conceitos e aplicam a regra de negação da condicional (MANÉ: mantém a primeira e nega a segunda), o que levaria à alternativa B. No entanto, a negação de $X \Rightarrow Y$ seria $X \land \sim Y$, que não é o que a questão pede. A equivalência mantém a estrutura lógica, enquanto a negação a inverte.

Para resolver questões de equivalência, o método mais seguro é:

1. Identificar a estrutura lógica da proposição (neste caso, uma condicional cujo antecedente e consequente são também condicionais).

2. Aplicar as equivalências fundamentais (condicional, De Morgan, dupla negação, etc.) passo a passo.

3. Comparar o resultado com as alternativas.

Vamos analisar cada alternativa:

Alternativa A — ❌ Incorreta

$(R \Rightarrow S) \Rightarrow \sim(P \Rightarrow Q)$ é a recíproca da proposição original, não sua equivalente. A recíproca de $X \Rightarrow Y$ é $Y \Rightarrow X$, que não possui o mesmo valor lógico. A banca tenta confundir o candidato invertendo a ordem da condicional, mas isso altera completamente a tabela-verdade.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$(P \Rightarrow Q) \land \sim(R \Rightarrow S)$ é a negação da proposição original, não sua equivalente. Pela regra de negação da condicional (MANÉ: mantém a primeira e nega a segunda), a negação de $X \Rightarrow Y$ é $X \land \sim Y$. Aqui, $X = (P \Rightarrow Q)$ e $Y = (R \Rightarrow S)$, resultando em $(P \Rightarrow Q) \land \sim(R \Rightarrow S)$. A banca explora a confusão clássica entre negação e equivalência.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

$(R \Rightarrow S) \lor \sim(P \Rightarrow Q)$ é exatamente a aplicação da equivalência da condicional: $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \lor Y$. Com $X = (P \Rightarrow Q)$ e $Y = (R \Rightarrow S)$, temos $\sim(P \Rightarrow Q) \lor (R \Rightarrow S)$, que é a mesma proposição (a disjunção é comutativa). Esta é a resposta correta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$(P \Rightarrow \sim Q) \Rightarrow (R \Rightarrow S)$ altera o antecedente da proposição original. Em vez de $(P \Rightarrow Q)$, temos $(P \Rightarrow \sim Q)$, que é uma proposição diferente. A banca tenta confundir negando o consequente da condicional interna, mas isso não preserva a equivalência.

Alternativa E — ❌ Incorreta

$(\sim R \Rightarrow S) \Rightarrow (P \Rightarrow Q)$ altera tanto o antecedente quanto o consequente da proposição original. O antecedente deveria ser $(R \Rightarrow S)$, mas foi trocado por $(\sim R \Rightarrow S)$, e o consequente foi invertido. Essa alternativa não corresponde a nenhuma equivalência válida da proposição original.

A chave para esta questão é reconhecer a estrutura $X \Rightarrow Y$ e aplicar a equivalência da condicional $X \Rightarrow Y \equiv \sim X \lor Y$. A banca explora a confusão entre equivalência e negação, além de tentar induzir o candidato a modificar as proposições internas. Com a prática, essa distinção se torna automática.

Gabarito: letra C