Questão de Raciocínio Lógico — Tabela Verdade das Proposições Compostas — CESPE / CEBRASPE 2024

Tabela-Verdade: identificando a proposição composta

Gabarito: letra E. A última coluna da tabela-verdade é verdadeira somente quando P e Q são ambos falsos, o que corresponde exatamente à proposição $(\neg P) \wedge (\neg Q)$ — a conjunção das negações de P e Q. Essa é a leitura direta da tabela: a única linha em que o resultado é V é aquela em que P = F e Q = F.

A questão pede que você faça o caminho inverso do usual: em vez de construir a tabela-verdade de uma proposição dada, você recebe a tabela pronta (as duas primeiras colunas com P e Q, e a última coluna com o resultado) e precisa descobrir qual proposição composta gera exatamente aquele padrão de valores. É uma habilidade essencial em Raciocínio Lógico, pois exige domínio das tabelas-verdade de cada conectivo e a capacidade de comparar padrões.

Vamos revisar rapidamente o comportamento de cada conectivo, pois é a base para resolver a questão. A conjunção ($\wedge$, "e") só é verdadeira quando ambas as proposições são verdadeiras. A disjunção inclusiva ($\vee$, "ou") é verdadeira quando pelo menos uma das proposições é verdadeira (sendo falsa apenas quando ambas são falsas). A negação ($\neg$) inverte o valor lógico: o que era V vira F, e o que era F vira V. Já a condicional ($\to$, "se... então...") só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso; em todos os outros casos, é verdadeira.

Agora, o passo a passo para resolver: primeiro, observe a última coluna da tabela-verdade fornecida. Ela apresenta o valor V em apenas uma linha — justamente aquela em que P é F e Q é F — e F nas demais. Isso já nos dá uma pista fortíssima: a proposição procurada é uma conjunção, pois a conjunção é o conectivo que só é verdadeiro em um único caso (quando ambos os componentes são verdadeiros). Mas atenção: não é a conjunção simples $P \wedge Q$, pois esta seria verdadeira quando P e Q são ambos V, e não quando ambos são F. Precisamos das negações de P e Q para que, quando P e Q forem falsos, $\neg P$ e $\neg Q$ sejam verdadeiros, tornando a conjunção verdadeira.

Vamos testar a alternativa E, $(\neg P) \wedge (\neg Q)$, em todas as linhas:

O resultado bate perfeitamente com a descrição: a proposição é verdadeira somente na linha em que P e Q são ambos falsos. É exatamente o padrão da última coluna da tabela-verdade do enunciado.

A pegadinha clássica desta questão é confundir a conjunção das negações com a disjunção das negações (alternativa D, $(\neg P) \vee (\neg Q)$). A disjunção seria verdadeira em três linhas (sempre que pelo menos uma das proposições for falsa), e não em apenas uma. Outra confusão comum é inverter o papel da negação, achando que a resposta seria $P \wedge (\neg Q)$ (alternativa B), que é verdadeira quando P é V e Q é F — um padrão diferente do apresentado.

Guarde o critério decisivo: conjunção = verdadeira em apenas 1 linha; disjunção = falsa em apenas 1 linha. É essa diferença que separa as alternativas e resolve a questão.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A proposição $P \vee (\neg Q)$ é uma disjunção inclusiva. Ela será verdadeira sempre que P for verdadeiro ou Q for falso. Isso ocorre em três linhas da tabela-verdade (P=V/Q=V, P=V/Q=F e P=F/Q=F), e não em apenas uma como exige a última coluna. O erro está em usar a disjunção, que é mais "permissiva", quando o padrão da tabela indica uma conjunção.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A proposição $P \wedge (\neg Q)$ é uma conjunção entre P e a negação de Q. Ela será verdadeira somente quando P for verdadeiro e Q for falso (P=V, Q=F). Na tabela-verdade do enunciado, porém, o resultado é verdadeiro quando P e Q são ambos falsos, não quando P é verdadeiro. O erro está em não negar P: como a linha verdadeira tem P=F, precisamos de $\neg P$, não de P.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A proposição $(\neg P) \to Q$ é uma condicional. A condicional só é falsa quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Aqui, o antecedente é $\neg P$ e o consequente é Q. Vamos analisar: quando P=F e Q=F, temos $\neg P$=V e Q=F, o que torna a condicional falsa (V→F = F). Mas a última coluna exige que essa linha seja verdadeira. Portanto, a condicional não corresponde ao padrão. Além disso, a condicional é verdadeira em três linhas, não em uma.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A proposição $(\neg P) \vee Q$ é uma disjunção inclusiva entre a negação de P e Q. Ela será verdadeira sempre que $\neg P$ for verdadeiro (P=F) ou Q for verdadeiro. Isso ocorre em três linhas (P=F/Q=V, P=F/Q=F e P=V/Q=V), e não em apenas uma. O erro é o mesmo da alternativa A: usar a disjunção, que é verdadeira em mais de um caso, quando o padrão da tabela exige uma conjunção (verdadeira em um único caso).

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A proposição $(\neg P) \wedge (\neg Q)$ é a conjunção das negações de P e Q. Ela é verdadeira somente quando $\neg P$ e $\neg Q$ são ambos verdadeiros, ou seja, quando P e Q são ambos falsos. Isso corresponde exatamente à linha da tabela-verdade em que a última coluna é V. Nas demais linhas, pelo menos uma das negações é falsa, tornando a conjunção falsa — o que também coincide com o padrão apresentado. Portanto, é a proposição que gera a última coluna da tabela-verdade.

A regra de ouro para levar à prova: quando a última coluna da tabela-verdade tiver apenas um V, a proposição é uma conjunção (ou uma negação de disjunção, pela Lei de De Morgan). Quando tiver apenas um F, é uma disjunção (ou uma negação de conjunção). Identifique em qual linha está o valor distinto e monte a proposição a partir dela.

Gabarito: letra E