Questão de Raciocínio Lógico — Tautologia, Contradição e Contingência — CESPE / CEBRASPE 2024

Tautologia, Contradição e Contingência

Gabarito: letra E. A alternativa E é uma contradição lógica porque afirma que $(p \land q \to r)$ é equivalente a $(p \land q \land \sim r)$, o que é impossível: a primeira proposição é verdadeira quando $p$ e $q$ são verdadeiros e $r$ é falso (pois o condicional com antecedente verdadeiro e consequente falso é falso, mas a equivalência exige que ambos tenham o mesmo valor), enquanto a segunda é falsa nesse mesmo caso. Como a equivalência ($\Leftrightarrow$) exige que os valores lógicos sejam idênticos em todas as linhas, e isso nunca ocorre, a proposição é sempre falsa — uma contradição.

Uma contradição é uma proposição composta cujo valor lógico é sempre falso, independentemente dos valores das proposições simples que a compõem. O exemplo clássico é $p \land \sim p$ ("chove e não chove"), que é falsa em todas as linhas da tabela-verdade. Já a tautologia é sempre verdadeira (ex.: $p \lor \sim p$), e a contingência pode ser verdadeira ou falsa conforme os valores das proposições (ex.: $p \to q$).

Para identificar uma contradição, o método mais seguro é construir a tabela-verdade da proposição e verificar se a última coluna contém apenas valores F. No caso da alternativa E, a estrutura é uma bicondicional ($\Leftrightarrow$) entre duas proposições. A bicondicional é verdadeira quando os dois lados têm o mesmo valor lógico e falsa quando têm valores diferentes. Se os dois lados nunca tiverem o mesmo valor, a bicondicional será sempre falsa — contradição.

Vamos analisar a alternativa E: $(p \land q \to r) \Leftrightarrow (p \land q \land \sim r)$. O lado esquerdo é um condicional: $p \land q \to r$. O lado direito é uma conjunção: $p \land q \land \sim r$. Para que a bicondicional seja verdadeira, os dois lados precisam ter o mesmo valor em todas as linhas. Mas observe: quando $p$, $q$ e $r$ são todos verdadeiros, o lado esquerdo é $V \to V = V$, enquanto o lado direito é $V \land V \land F = F$. Os valores são diferentes, então a bicondicional é falsa nessa linha. E quando $p$ e $q$ são verdadeiros e $r$ é falso, o lado esquerdo é $V \to F = F$, e o lado direito é $V \land V \land V = V$. Novamente, valores diferentes. Na verdade, os dois lados são exatamente opostos em todas as linhas em que $p$ e $q$ são verdadeiros, o que torna a bicondicional sempre falsa. Portanto, é uma contradição.

A pegadinha da banca está em apresentar uma equivalência ($\Leftrightarrow$) que, na verdade, é uma negação disfarçada. O candidato pode ser tentado a aplicar a regra de que $p \to q$ é equivalente a $\sim p \lor q$, mas aqui a estrutura é diferente: o lado direito não é a negação do lado esquerdo, mas sim uma proposição que nunca tem o mesmo valor lógico que ele. A banca explora a confusão entre equivalência e negação, e entre condicional e conjunção.

Para resolver questões como esta, o método é sempre o mesmo: construir a tabela-verdade ou, quando a estrutura for simples, analisar os casos críticos. No caso de uma bicondicional, basta encontrar uma linha em que os dois lados tenham valores diferentes para saber que não é uma tautologia; se em todas as linhas os valores forem diferentes, é uma contradição.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A afirma que $[(p \lor q) \to r] \Leftrightarrow [p \to (\sim q \land \sim r)]$. Isso não é uma contradição, pois a bicondicional pode ser verdadeira em algumas linhas. Por exemplo, se $p = V$, $q = F$ e $r = F$, o lado esquerdo é $(V \lor F) \to F = V \to F = F$, e o lado direito é $V \to (\sim F \land \sim F) = V \to (V \land V) = V \to V = V$. Os valores são diferentes, mas em outras linhas podem ser iguais (ex.: $p = F$, $q = F$, $r = F$: lado esquerdo $F \to F = V$; lado direito $F \to (V \land V) = F \to V = V$). Como há linhas com valores iguais e linhas com valores diferentes, a proposição é uma contingência, não uma contradição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B é $[p \land (q \to r)] \to (p \lor \sim r)$. Esta é uma tautologia, não uma contradição. Para verificar, note que se o antecedente $p \land (q \to r)$ é verdadeiro, então $p$ é verdadeiro. Logo, o consequente $p \lor \sim r$ é verdadeiro (pois $p$ é verdadeiro). Portanto, sempre que o antecedente é verdadeiro, o consequente também é, o que torna o condicional sempre verdadeiro. É uma tautologia.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C é $(p \to q) \to \sim (q \to r)$. Esta proposição é uma contingência. Por exemplo, se $p = V$, $q = V$ e $r = V$, o antecedente é $V \to V = V$, e o consequente é $\sim (V \to V) = \sim V = F$. Logo, o condicional é $V \to F = F$. Mas se $p = F$, $q = F$, $r = F$, o antecedente é $F \to F = V$, e o consequente é $\sim (F \to F) = \sim V = F$, então o condicional é $V \to F = F$. Já se $p = F$, $q = V$, $r = F$, o antecedente é $F \to V = V$, e o consequente é $\sim (V \to F) = \sim F = V$, então o condicional é $V \to V = V$. Como há linhas com V e linhas com F, é uma contingência.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D é $[(p \land q) \to \sim r] \to (p \land q \land \sim r)$. Esta proposição é uma contingência. Por exemplo, se $p = V$, $q = V$, $r = F$, o antecedente é $(V \land V) \to \sim F = V \to V = V$, e o consequente é $V \land V \land \sim F = V \land V \land V = V$. Logo, o condicional é $V \to V = V$. Mas se $p = V$, $q = V$, $r = V$, o antecedente é $(V \land V) \to \sim V = V \to F = F$, e o consequente é $V \land V \land \sim V = V \land V \land F = F$. O condicional é $F \to F = V$. Já se $p = V$, $q = F$, $r = F$, o antecedente é $(V \land F) \to \sim F = F \to V = V$, e o consequente é $V \land F \land \sim F = V \land F \land V = F$. O condicional é $V \to F = F$. Como há linhas com V e linhas com F, é uma contingência.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa E é $(p \land q \to r) \Leftrightarrow (p \land q \land \sim r)$. Como analisado, os dois lados da bicondicional nunca têm o mesmo valor lógico. Vamos confirmar com a tabela-verdade para os casos em que $p$ e $q$ são verdadeiros (nos demais casos, o lado esquerdo é sempre verdadeiro, pois o antecedente $p \land q$ é falso, e o lado direito é sempre falso, pois a conjunção $p \land q$ é falsa; logo, a bicondicional é $V \Leftrightarrow F = F$):

Em todas as linhas, os valores são opostos, então a bicondicional é sempre falsa. Portanto, é uma contradição.

Gabarito: letra E