Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — CESPE / CEBRASPE 2024

Equivalências Lógicas: Negação da Disjunção (Leis de Morgan)

Gabarito: letra B. A proposição “Não é verdade que é permitido entrar de shorts ou bermuda em um tribunal” é a negação da disjunção inclusiva $p \lor q$, que, pelas Leis de Morgan, equivale a $\sim p \land \sim q$ — “não é permitido entrar de shorts e não é permitido entrar de bermuda”. A alternativa B, $\sim(\sim q \to p \land \sim q)$, é logicamente equivalente a essa negação, como será demonstrado passo a passo.

A questão cobra um dos pontos mais recorrentes em Raciocínio Lógico: a negação de proposições compostas, especificamente a negação da disjunção inclusiva (conectivo “ou”). A regra é conhecida como Lei de Morgan e estabelece que negar uma disjunção equivale a conjugar as negações das proposições simples. Em símbolos: $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$. A justificativa é intuitiva: se alguém afirma que “é permitido entrar de shorts ou bermuda”, para desmentir essa afirmação é preciso mostrar que nenhuma das duas permissões existe — ou seja, não é permitido shorts e não é permitido bermuda. Basta que uma delas seja permitida para que a afirmação original seja verdadeira.

A banca, porém, não apresenta a resposta na forma direta $\sim p \land \sim q$. Em vez disso, ela constrói uma expressão mais complexa na alternativa B e espera que o candidato a simplifique. Vamos fazer isso agora, passo a passo, para verificar a equivalência.

Simplificação da alternativa B:

1. A expressão é $\sim(\sim q \to p \land \sim q)$.

2. A condicional $\sim q \to p \land \sim q$ pode ser reescrita como $q \lor (p \land \sim q)$ (equivalência da condicional: $A \to B \equiv \sim A \lor B$).

3. Aplicando a distributiva: $q \lor (p \land \sim q) \equiv (q \lor p) \land (q \lor \sim q)$.

4. Como $q \lor \sim q$ é uma tautologia (sempre verdadeira), a expressão se reduz a $q \lor p$.

5. Portanto, a alternativa B é $\sim(q \lor p)$, que é exatamente a negação da disjunção $p \lor q$.

6. Pela Lei de Morgan, $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

Assim, a alternativa B é logicamente equivalente à proposição do enunciado. As demais alternativas não representam essa negação, como veremos em cada uma.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A é $p \to q$, uma condicional simples. Ela não é equivalente à negação da disjunção $\sim(p \lor q)$. A condicional $p \to q$ é falsa apenas quando $p$ é verdadeiro e $q$ é falso, enquanto $\sim(p \lor q)$ é verdadeira apenas quando ambos são falsos. São proposições com tabelas-verdade completamente diferentes. A banca tenta confundir o candidato oferecendo uma proposição que não tem relação lógica com a negação pedida.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa B é $\sim(\sim q \to p \land \sim q)$. Como demonstrado, essa expressão se simplifica para $\sim(p \lor q)$, que é exatamente a negação da disjunção inclusiva. Pela Lei de Morgan, isso equivale a $\sim p \land \sim q$, que é a forma canônica da negação pedida. A banca construiu uma expressão aparentemente complexa, mas que se reduz à resposta correta após a simplificação.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A alternativa C é $\sim p \lor \sim q$. Essa é a negação da conjunção $p \land q$, não da disjunção. Pela Lei de Morgan, $\sim(p \land q) \equiv \sim p \lor \sim q$. A banca troca o conectivo: negação de “ou” é “e”, e negação de “e” é “ou”. O candidato que confunde as duas Leis de Morgan marca esta alternativa, que é o distrator mais comum.

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D é $\sim(p \land q)$, que é a negação da conjunção. Pela Lei de Morgan, isso equivale a $\sim p \lor \sim q$, que é a alternativa C. Novamente, a banca explora a confusão entre negar conjunção e negar disjunção. A negação correta da disjunção $p \lor q$ é $\sim p \land \sim q$, não $\sim(p \land q)$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E é $p \land q \to \sim q$, uma condicional com antecedente composto. Essa expressão não é equivalente à negação da disjunção. Vamos simplificar: $p \land q \to \sim q \equiv \sim(p \land q) \lor \sim q \equiv \sim p \lor \sim q \lor \sim q \equiv \sim p \lor \sim q$. Isso é a negação da conjunção, não da disjunção. A banca tenta confundir com uma estrutura mais complexa, mas o resultado é o mesmo distrator da alternativa C.

Conclusão: A única alternativa logicamente equivalente à proposição “Não é verdade que é permitido entrar de shorts ou bermuda em um tribunal” é a letra B, que se simplifica para $\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$.

Gabarito: letra B