Questão de Raciocínio Lógico — Lógica de Primeira Ordem — CESPE / CEBRASPE 2024

Lógica de Primeira Ordem: Tradução de Quantificadores

Gabarito: letra D. A sentença $\exists x \,(maisIdade(x) \to \forall y \,(maisJovem(y) \to maisEstudioso(x,y)))$ afirma que existe pelo menos uma pessoa de mais idade tal que, para todo y, se y é mais jovem, então essa pessoa é mais estudiosa que y. Em outras palavras: algumas pessoas de mais idade são mais estudiosas que todos os mais jovens. A alternativa D traduz exatamente essa estrutura lógica.

A questão cobra a habilidade de traduzir uma expressão da lógica de predicados (lógica de primeira ordem) para a linguagem natural. O ponto central é entender o papel de cada quantificador e do conectivo condicional. O quantificador existencial $\exists$ indica que existe pelo menos um elemento que satisfaz a condição. O quantificador universal $\forall$ indica que a condição vale para todos os elementos do domínio. O conectivo $\to$ (condicional) estabelece uma relação de implicação: se o antecedente é verdadeiro, o consequente também deve ser.

Vamos decompor a sentença passo a passo. A expressão é $\exists x \,(maisIdade(x) \to \forall y \,(maisJovem(y) \to maisEstudioso(x,y)))$. O escopo do $\exists x$ é toda a parte após o quantificador. Dentro desse escopo, temos um condicional cujo antecedente é $maisIdade(x)$ e cujo consequente é $\forall y \,(maisJovem(y) \to maisEstudioso(x,y))$. O consequente, por sua vez, é um quantificador universal sobre y, cujo escopo é o condicional $maisJovem(y) \to maisEstudioso(x,y)$.

A leitura correta é: "Existe um x tal que, se x é uma pessoa de mais idade, então para todo y, se y é uma pessoa mais jovem, então x é mais estudioso que y". Isso significa que há uma pessoa específica (de mais idade) que é mais estudiosa do que todas as pessoas mais jovens. A alternativa D captura essa ideia: "Algumas pessoas de mais idade na faculdade são mais estudiosas que todos os mais jovens de lá". O termo "algumas" corresponde ao quantificador existencial, e "todos os mais jovens" corresponde ao quantificador universal.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é confundir o alcance dos quantificadores. Muitos candidatos leem a sentença como se o quantificador universal se aplicasse às pessoas de mais idade, ou como se o existencial se aplicasse apenas a alguns jovens. A banca explora exatamente essa confusão nas alternativas. Para acertar, é fundamental identificar qual quantificador governa qual variável e qual é o escopo de cada um.

Guarde a distinção crucial: o $\exists$ está ligado a quem é mais estudioso (a pessoa de mais idade), e o $\forall$ está ligado a com quem ela é comparada (todos os mais jovens). É essa relação que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que "algumas pessoas de mais idade são mais estudiosas que alguns dos mais jovens". O erro está em trocar o quantificador universal $\forall y$ por um existencial. A sentença original exige que a pessoa de mais idade seja mais estudiosa que todos os mais jovens, não apenas que alguns. A alternativa A enfraquece a afirmação, tornando-a mais fraca do que a original.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que "todas as pessoas de mais idade são mais estudiosas que alguns dos mais jovens". Aqui há dois erros: primeiro, troca o quantificador existencial $\exists x$ por um universal, afirmando que todas as pessoas de mais idade têm a propriedade; segundo, troca o quantificador universal $\forall y$ por um existencial, dizendo que basta ser mais estudioso que alguns jovens. A sentença original exige apenas a existência de uma pessoa de mais idade, mas que ela seja mais estudiosa que todos os jovens.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que "não existe nenhuma pessoa de mais idade que seja mais estudiosa que todos os mais jovens". Essa é a negação da sentença original. A original afirma que existe pelo menos uma pessoa com essa propriedade; a alternativa C nega essa existência. Portanto, é exatamente o oposto do que a sentença diz.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que "algumas pessoas de mais idade são mais estudiosas que todos os mais jovens". Isso corresponde perfeitamente à estrutura lógica: $\exists x$ (algumas pessoas de mais idade) e $\forall y$ (todos os mais jovens). A alternativa usa "algumas" para o quantificador existencial e "todos" para o quantificador universal, mantendo a relação correta de que a pessoa de mais idade é mais estudiosa que cada um dos mais jovens.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Afirma que "todas as pessoas de mais idade são mais estudiosas que todos os mais jovens". O erro está em trocar o quantificador existencial $\exists x$ por um universal. A sentença original não afirma que todas as pessoas de mais idade têm essa propriedade, apenas que existe pelo menos uma. A alternativa E generaliza indevidamente a afirmação.

Gabarito: letra D