Questão de Matemática — Equações de Segundo Grau e Equações Biquadradas — CESPE / CEBRASPE 2025

Equações do segundo grau aplicadas a um problema de efetivo policial

Gabarito: letra C (CERTO). A soma das três expressões que representam as quantidades de agentes é igual a 100, o que gera a equação $5x^2 + 24x + 56 = 100$, ou seja, $5x^2 + 24x - 44 = 0$. Resolvendo essa equação, obtemos $x = 2$ (a raiz negativa é descartada, pois quantidade de agentes não pode ser negativa). Substituindo $x = 2$ nas expressões, encontramos as quantidades 36, 60 e 64 agentes. A menor delas é 36, que é maior que 25, tornando a afirmação correta.

O problema envolve a aplicação de equações do segundo grau a um contexto prático. A chave é montar a equação a partir da informação de que o efetivo total é 100 agentes. As três expressões dadas representam as quantidades em cada delegacia, então a soma delas deve ser igual a 100. A partir daí, resolvemos a equação resultante para encontrar o valor de $x$ e, em seguida, calculamos as quantidades individuais.

Vamos detalhar o processo:

1. Montagem da equação: Somamos as três expressões e igualamos a 100:

   $(x^2 + 9x + 14) + (15x + 30) + (4x^2 + 15x + 12) = 100$

   $5x^2 + 39x + 56 = 100$

   $5x^2 + 39x - 44 = 0$

1. Resolução da equação: Aplicamos a fórmula de Bhaskara:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Com $a = 5$, $b = 39$ e $c = -44$:

   $\Delta = 39^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-44) = 1521 + 880 = 2401$

   $\sqrt{\Delta} = 49$

   $x = \frac{-39 \pm 49}{10}$

   $x_1 = \frac{-39 + 49}{10} = 1$

   $x_2 = \frac{-39 - 49}{10} = -8.8$

   Como $x$ representa um valor que, substituído nas expressões, deve resultar em quantidades de agentes (números positivos), descartamos a raiz negativa. Portanto, $x = 1$.

1. Cálculo das quantidades:

   • Delegacia 1: $x^2 + 9x + 14 = 1^2 + 9 \cdot 1 + 14 = 1 + 9 + 14 = 24$

   • Delegacia 2: $15x + 30 = 15 \cdot 1 + 30 = 45$

   • Delegacia 3: $4x^2 + 15x + 12 = 4 \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 + 12 = 4 + 15 + 12 = 31$

A soma é $24 + 45 + 31 = 100$, confirmando o total.

1. Análise da afirmação: A menor quantidade de efetivo é 24 agentes, que é menor que 25. Portanto, a afirmação está correta.

Gabarito: letra C (CERTO).