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Questão de Matemática — Produtos Notáveis — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaProdutos Notáveis
Código
ce415083
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PC DF
Ano
2025
Cargo
GAAPC ( )

Julgue o item a seguir, relativo a razão e proporção e a fatoração algébrica.

 

Se uma senha numérica usada por um hacker foi identificada por um algoritmo para análise criptográfica como sendo \large{x^4-y^4 \over x-y}, em que os valores de x e y são números naturais distintos e positivos, então, nesse caso, essa senha pode ser escrita como o produto de dois números naturais maiores que 2.

  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Fatoração algébrica: diferença de quadrados e a senha do hacker

Gabarito: letra C (CERTO). A expressão x4−y4x−y\frac{x^4 - y^4}{x - y} pode ser fatorada como (x+y)(x2+y2)(x + y)(x^2 + y^2), e como xx e yy são números naturais distintos e positivos, ambos os fatores são números naturais maiores que 2. A fatoração da diferença de quadrados é a chave para resolver a questão.

A expressão x4−y4x^4 - y^4 é uma diferença de quadrados, pois x4=(x2)2x^4 = (x^2)^2 e y4=(y2)2y^4 = (y^2)^2. Pelo produto notável da soma pela diferença, temos:

x4−y4=(x2+y2)(x2−y2)x^4 - y^4 = (x^2 + y^2)(x^2 - y^2)

Agora, x2−y2x^2 - y^2 também é uma diferença de quadrados, então podemos fatorar novamente:

x2−y2=(x+y)(x−y)x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)

Substituindo na expressão original, obtemos:

x4−y4x−y=(x2+y2)(x+y)(x−y)x−y=(x2+y2)(x+y)\frac{x^4 - y^4}{x - y} = \frac{(x^2 + y^2)(x + y)(x - y)}{x - y} = (x^2 + y^2)(x + y)

Como xx e yy são números naturais distintos e positivos, o menor valor possível para xx é 1 e para yy é 2 (ou vice-versa). Nesse caso, x+y=3x + y = 3 e x2+y2=1+4=5x^2 + y^2 = 1 + 4 = 5, ambos maiores que 2. Para quaisquer outros valores de xx e yy, os fatores serão ainda maiores. Portanto, a senha pode ser escrita como o produto de dois números naturais maiores que 2.

A pegadinha desta questão está em não reconhecer que x4−y4x^4 - y^4 é uma diferença de quadrados e tentar fatorar diretamente como (x2−y2)2(x^2 - y^2)^2, o que é um erro comum. A banca explora a necessidade de aplicar o produto notável duas vezes.

  1. 1Diferença de quadrados
  2. 2Fatorar x² - y²
  3. 3Simplificar (x - y)
  4. 4Resultado: (x+y)(x²+y²)
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Item — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A expressão x4−y4x−y\frac{x^4 - y^4}{x - y} é equivalente a (x+y)(x2+y2)(x + y)(x^2 + y^2). Como xx e yy são números naturais distintos e positivos, o menor valor possível para a soma x+yx + y é 1+2=31 + 2 = 3, e o menor valor possível para x2+y2x^2 + y^2 é 12+22=51^2 + 2^2 = 5. Ambos os fatores são maiores que 2, confirmando a afirmação.

Gabarito: letra C (CERTO).

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