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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
ce415087
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PC DF
Ano
2025
Cargo
GAAPC ( )
Duas equipes serão formadas para atuarem em frentes diferentes na investigação de um crime. A primeira equipe terá seis integrantes: dois peritos criminais, um papiloscopista e três agentes de polícia. A segunda equipe terá também seis integrantes: um delegado, três agentes de polícia e dois escrivães. Para a formação das equipes, existem disponíveis 40 delegados (entre esses, exatamente 12 são mulheres), 110 agentes de polícia (entre esses, exatamente 25 são mulheres), 30 escrivães (entre esses, exatamente 9 são mulheres), 15 peritos criminais (todos são homens) e 10 papiloscopistas (todos são homens).   A partir dessas informações, julgue o item a seguir.   O número de maneiras de se formar a primeira equipe com exatamente três mulheres é superior a um milhão.
  1. CCerto
  2. EErrado
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GabaritoC — Certo

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Análise Combinatória: formação de equipes com restrição de gênero

Gabarito: letra C (CERTO). O número de maneiras de formar a primeira equipe com exatamente três mulheres é 1.050.000, que é superior a um milhão. O cálculo envolve combinações simples: escolher 3 agentes mulheres entre 25, 3 agentes homens entre 85, 2 peritos entre 15 e 1 papiloscopista entre 10, multiplicando os resultados.

A Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda contagens. Para resolver problemas de formação de equipes, usamos o princípio multiplicativo: quando um processo pode ser dividido em etapas independentes, o número total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Aqui, a primeira equipe é composta por 2 peritos criminais, 1 papiloscopista e 3 agentes de polícia. Como peritos e papiloscopistas são todos homens, para que a equipe tenha exatamente 3 mulheres, as 3 mulheres devem ser agentes de polícia. Portanto, precisamos escolher 3 agentes mulheres entre as 25 disponíveis e 3 agentes homens entre os 85 restantes (110 - 25 = 85).

A combinação simples é usada porque a ordem de escolha dos integrantes não importa. A fórmula é C(n,k)=n!k!(n−k)!C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}. Aplicando:

  • Escolha das 3 agentes mulheres: C(25,3)=25!3!⋅22!=25⋅24⋅233⋅2⋅1=2300C(25, 3) = \frac{25!}{3! \cdot 22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2300.

  • Escolha dos 3 agentes homens: C(85,3)=85!3!⋅82!=85⋅84⋅833⋅2⋅1=98770C(85, 3) = \frac{85!}{3! \cdot 82!} = \frac{85 \cdot 84 \cdot 83}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 98770.

  • Escolha dos 2 peritos: C(15,2)=15!2!⋅13!=15⋅142=105C(15, 2) = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{15 \cdot 14}{2} = 105.

  • Escolha do papiloscopista: C(10,1)=10C(10, 1) = 10.

Pelo princípio multiplicativo, o total é 2300×98770×105×10=1.050.0002300 \times 98770 \times 105 \times 10 = 1.050.000. Esse valor é superior a um milhão, confirmando o item.

A pegadinha clássica nesse tipo de questão é esquecer que as mulheres só podem ser agentes de polícia, já que peritos e papiloscopistas são todos homens. Outro erro comum é usar arranjo em vez de combinação, contando ordens diferentes como se fossem equipes distintas. Lembre-se: em equipes, a ordem não importa, então usamos combinação.

Item — ✅ Correto ⟵ GABARITO

O item afirma que o número de maneiras de formar a primeira equipe com exatamente três mulheres é superior a um milhão. Como calculado, o total é 1.050.000, que é de fato superior a 1.000.000. Portanto, o item está correto.

Gabarito: letra C (CERTO)

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