Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2025

Análise Combinatória: combinação com restrição (pelo menos uma escrivã)

Gabarito: letra E (ERRADO). O número de maneiras de formar a segunda equipe com pelo menos uma escrivã é superior a 300 milhões, não inferior. O cálculo envolve combinações simples: escolher 1 delegado entre 40, 3 agentes entre 110 e 2 escrivães entre 30, com a restrição de que pelo menos um dos escrivães seja mulher. O total é de aproximadamente 1,2 bilhão de maneiras, o que torna a afirmação incorreta.

Para resolver, precisamos entender o princípio fundamental da contagem e a combinação simples. Quando montamos uma equipe com papéis distintos (delegado, agentes, escrivães), usamos o princípio multiplicativo: multiplicamos as possibilidades de cada escolha. A combinação simples $C_{n,k}$ conta quantos grupos de $k$ elementos podemos formar a partir de um conjunto de $n$ elementos, sem considerar a ordem. A fórmula é $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

A restrição "pelo menos uma escrivã" pode ser resolvida de duas formas: calculando diretamente as possibilidades com 1 ou 2 escrivãs, ou subtraindo do total de equipes (sem restrição) aquelas que não têm nenhuma escrivã. Vamos usar o segundo método, que é mais eficiente.

Primeiro, calculamos o total de maneiras de formar a segunda equipe sem nenhuma restrição. Temos 40 delegados, 110 agentes e 30 escrivães. A equipe precisa de 1 delegado, 3 agentes e 2 escrivães. O total é:

Calculando cada combinação:

• $C_{40,1} = 40$

• $C_{110,3} = \frac{110 \times 109 \times 108}{3 \times 2 \times 1} = 215.820$

• $C_{30,2} = \frac{30 \times 29}{2} = 435$

Multiplicando: $40 \times 215.820 \times 435 = 3.755.268.000$ (aproximadamente 3,75 bilhões).

Agora, calculamos o número de equipes sem nenhuma escrivã. Isso significa que os 2 escrivães devem ser escolhidos entre os 21 homens (30 escrivães - 9 mulheres). O número de maneiras é:

• $C_{21,2} = \frac{21 \times 20}{2} = 210$

Multiplicando: $40 \times 215.820 \times 210 = 1.812.888.000$ (aproximadamente 1,81 bilhão).

Subtraindo do total: $3.755.268.000 - 1.812.888.000 = 1.942.380.000$ (aproximadamente 1,94 bilhão).

Esse valor é claramente superior a 300 milhões. Portanto, a afirmação de que o número de maneiras é inferior a 300 milhões está errada.

A pegadinha aqui é que o candidato pode tentar calcular diretamente as combinações com 1 ou 2 escrivãs, mas pode esquecer de considerar que os escrivães homens também podem ser escolhidos. O método mais seguro é subtrair do total as equipes sem nenhuma escrivã.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmação de que o número de maneiras é inferior a 300 milhões está errada. O cálculo correto mostra que o número é de aproximadamente 1,94 bilhão, muito acima de 300 milhões. O erro está em subestimar a quantidade de combinações possíveis, especialmente ao escolher os 3 agentes entre 110, que já gera mais de 215 mil possibilidades, e os 2 escrivães entre 30, que gera 435 possibilidades. Multiplicando pelo delegado (40), o total já ultrapassa 3,7 bilhões antes mesmo de aplicar a restrição.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmação de que o número de maneiras é inferior a 300 milhões está errada, portanto a alternativa correta é a letra E. O número real é de aproximadamente 1,94 bilhão, como demonstrado no cálculo acima. A banca espera que o candidato faça o cálculo completo e perceba que o valor é muito maior do que o proposto.

Gabarito: letra E