Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025
Matemática›Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença
Código
ce415090
Banca
CESPE / CEBRASPE
Órgão
PC DF
Ano
2025
Cargo
AAAPC ( )
Considerando que, entre 900 candidatos ao cargo de agente de polícia civil, 630 tenham a habilidade de manuseio de arma de fogo e 480 tenham habilidade de cálculo, julgue o item a seguir. No mínimo, 210 candidatos possuem as duas habilidades mencionadas.
CCerto
EErrado
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — Certo
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Número de elementos da interseção de conjuntos
Gabarito: letra C (CERTO). O número mínimo de candidatos com as duas habilidades é dado pela soma dos conjuntos menos o total: 630 + 480 − 900 = 210. Isso decorre do princípio da inclusão-exclusão para dois conjuntos, que afirma que o número de elementos da união é a soma dos elementos de cada conjunto menos a interseção.
O problema trata de dois conjuntos dentro de um universo de 900 candidatos: o conjunto A dos que têm habilidade com arma de fogo (630) e o conjunto B dos que têm habilidade de cálculo (480). A pergunta é sobre o número mínimo de elementos na interseção A ∩ B, ou seja, quantos candidatos têm, no mínimo, ambas as habilidades.
Para entender isso, vamos usar o princípio da inclusão-exclusão. A fórmula para dois conjuntos é:
O número de elementos da união n(A ∪ B) não pode exceder o total de candidatos, que é 900. Portanto, temos:
Substituindo na fórmula:
Assim, o número de candidatos com as duas habilidades é, no mínimo, 210. Isso significa que, mesmo no pior cenário, onde tentamos minimizar a sobreposição, pelo menos 210 candidatos têm ambas as habilidades. Esse é o valor mínimo absoluto, e a afirmação do item está correta.
Vamos verificar com um exemplo concreto. Se 210 candidatos têm as duas habilidades, então 630 − 210 = 420 têm apenas habilidade com arma, e 480 − 210 = 270 têm apenas habilidade de cálculo. Somando: 420 + 270 + 210 = 900, que é exatamente o total. Se tentássemos ter menos de 210 na interseção, por exemplo 209, teríamos 421 apenas com arma e 271 apenas com cálculo, totalizando 421 + 271 + 209 = 901, o que ultrapassaria o total de 900 candidatos. Portanto, é impossível ter menos de 210 na interseção.
A pegadinha desta questão é que o candidato pode ser tentado a simplesmente somar 630 + 480 = 1110 e concluir que há 1110 candidatos com pelo menos uma habilidade, ignorando que o total é 900. A diferença entre a soma e o total (1110 − 900 = 210) é exatamente o número mínimo de elementos na interseção. Esse é um raciocínio clássico de conjuntos, e a banca explora a confusão entre união e interseção.
NÃO CAIA NESSA!
A banca quer que você confunda a soma dos conjuntos (630 + 480 = 1110) com o número total de candidatos (900). A diferença entre esses valores é o número mínimo de elementos na interseção. Lembre-se: a soma dos elementos de dois conjuntos só é igual ao total se eles forem disjuntos (interseção vazia). Como 1110 > 900, há necessariamente sobreposição, e o mínimo dessa sobreposição é 210.
Candidatos com habilidades — só Habilidade A: 420; só Habilidade B: 270; Habilidade A∩Habilidade B: 210
Alternativa C — ✅ Correto ⟵ GABARITO
A afirmação está correta. O número mínimo de candidatos com as duas habilidades é 210, calculado pela fórmula da união de conjuntos: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Como n(A ∪ B) ≤ 900, temos 630 + 480 − n(A ∩ B) ≤ 900, o que resulta em n(A ∩ B) ≥ 210. Portanto, no mínimo 210 candidatos possuem ambas as habilidades.