Questão de Matemática — Número de Elementos da União, da Intersecção, do Complemento e da Diferença — CESPE / CEBRASPE 2025

Conjuntos: união, interseção e complementar

Gabarito: letra C (CERTO). O número máximo de candidatos que não possuem nenhuma das habilidades é 270, pois, para maximizar esse grupo, devemos minimizar a interseção entre os conjuntos de quem tem habilidade com arma e de quem tem habilidade de cálculo. Aplicando o princípio da inclusão-exclusão: $n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C) \le 630 + 480 = 1110$, mas como o universo tem 900, a interseção mínima é $630 + 480 - 900 = 210$. Assim, o número de candidatos sem nenhuma habilidade é $900 - n(A \cup C) \le 900 - (630 + 480 - 210) = 270$.

Vamos entender o problema com calma. Temos um conjunto universo com 900 candidatos. Dentro dele, há dois subconjuntos: o conjunto A (candidatos com habilidade de manuseio de arma de fogo) com 630 elementos, e o conjunto C (candidatos com habilidade de cálculo) com 480 elementos. A questão pergunta sobre o número máximo de candidatos que não possuem nenhuma das duas habilidades, ou seja, que estão fora da união $A \cup C$.

O número de candidatos fora da união é dado por $900 - n(A \cup C)$. Para que esse número seja o máximo possível, precisamos que $n(A \cup C)$ seja o mínimo possível. A união $A \cup C$ é mínima quando a interseção $A \cap C$ é máxima, pois $n(A \cup C) = n(A) + n(C) - n(A \cap C)$. A interseção máxima possível é o menor dos dois conjuntos, ou seja, 480 (todos os que têm habilidade de cálculo também têm habilidade com arma). Nesse caso, $n(A \cup C) = 630 + 480 - 480 = 630$, e o número de candidatos sem nenhuma habilidade seria $900 - 630 = 270$. Esse é exatamente o valor máximo.

Mas será que esse cenário é possível? Sim, pois a interseção máxima de 480 não ultrapassa o tamanho do conjunto A (630) nem o do conjunto C (480). Portanto, o número máximo de candidatos sem nenhuma habilidade é 270, e a afirmação "no máximo, 270 candidatos não possuem nenhuma das habilidades mencionadas" está correta.

Uma forma alternativa de pensar: o número de candidatos que possuem pelo menos uma das habilidades é, no mínimo, $630 + 480 - 900 = 210$ (quando a interseção é mínima, ou seja, quando a soma dos dois conjuntos excede o universo). Mas isso não é o que queremos maximizar. Queremos maximizar quem não tem nenhuma, então minimizamos quem tem pelo menos uma. Quem tem pelo menos uma é mínimo quando a interseção é máxima, como vimos. Assim, o mínimo de quem tem pelo menos uma é 630, e o máximo de quem não tem nenhuma é $900 - 630 = 270$.

A pegadinha aqui é inverter o raciocínio: muitos candidatos tentam minimizar a interseção (pensando em maximizar quem não tem nenhuma), mas na verdade precisam maximizar a interseção. Vamos ver isso com um diagrama de Venn para fixar.

Item — ✅ CERTO

A afirmação está correta. O número máximo de candidatos sem nenhuma das habilidades é 270, como demonstrado. Para maximizar o grupo sem habilidades, devemos maximizar a interseção entre os conjuntos de quem tem arma e de quem tem cálculo, fazendo com que a união seja a menor possível. Com interseção máxima de 480, a união é $630 + 480 - 480 = 630$, e o complementar é $900 - 630 = 270$. Portanto, não é possível que mais de 270 candidatos fiquem sem nenhuma habilidade.

Gabarito: letra C (CERTO).