Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — CESPE / CEBRASPE 2025

Análise Combinatória: princípio multiplicativo e combinações

Gabarito: letra E (ERRADO). O número de maneiras de formar a primeira equipe é dado pelo produto das combinações de cada cargo: $C_{15,2} \times C_{10,1} \times C_{110,3}$. Calculando: $C_{15,2} = 105$, $C_{10,1} = 10$ e $C_{110,3} = 215.820$. O produto é $105 \times 10 \times 215.820 = 226.611.000$, que é superior a 20 milhões. Portanto, a afirmação de que o número de maneiras é inferior a 20 milhões está errada.

A questão envolve a formação de uma equipe com cargos distintos, o que exige a aplicação do princípio multiplicativo da contagem. Quando precisamos escolher um subconjunto de pessoas de um grupo maior, sem levar em conta a ordem, usamos a combinação simples. A fórmula é $C_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$, onde $n$ é o total de elementos e $k$ é o número de elementos a serem escolhidos. Como a equipe é composta por cargos diferentes (peritos, papiloscopista e agentes), a escolha de cada cargo é independente, e o total de maneiras é o produto das combinações de cada cargo.

Vamos detalhar o cálculo para a primeira equipe:

1. Peritos criminais: precisamos escolher 2 entre 15 disponíveis. O número de combinações é $C_{15,2} = \frac{15!}{2! \times 13!} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$.

2. Papiloscopista: precisamos escolher 1 entre 10 disponíveis. O número de combinações é $C_{10,1} = 10$.

3. Agentes de polícia: precisamos escolher 3 entre 110 disponíveis. O número de combinações é $C_{110,3} = \frac{110!}{3! \times 107!} = \frac{110 \times 109 \times 108}{6} = 215.820$.

Aplicando o princípio multiplicativo, o total de maneiras de formar a primeira equipe é:

Esse valor é claramente superior a 20 milhões (20.000.000). Portanto, a afirmativa do item está incorreta.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a fazer uma estimativa rápida e concluir que o número seria menor que 20 milhões, sem realizar o cálculo completo. Muitos podem subestimar o valor de $C_{110,3}$, que é bastante grande. É fundamental não pular etapas e calcular cada combinação com atenção.

Alternativa C — ❌ Incorreta

A afirmativa diz que o número de maneiras de formar a primeira equipe é inferior a 20 milhões. Isso está errado, pois o cálculo correto resulta em 226.611.000 maneiras, um valor muito superior a 20 milhões. O erro está em subestimar o número de combinações possíveis, especialmente o termo $C_{110,3}$, que sozinho já é superior a 200 mil.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A afirmativa está correta ao dizer que o número de maneiras é superior a 20 milhões. O cálculo completo demonstra que o total é 226.611.000, o que confirma a veracidade da afirmação. A banca pede para julgar se o número é inferior a 20 milhões, e como não é, a resposta correta é "Errado".

Gabarito: letra E (ERRADO).