Questão de Matemática — Números Irracionais — CESPE / CEBRASPE 2025

Números irracionais e produtos notáveis: o produto de radicais

Gabarito: letra C (CERTO). O produto entre $\sqrt{3} - 1$ e $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ é, de fato, 2. A chave está em reconhecer que $4 + 2\sqrt{3}$ é o quadrado perfeito de $\sqrt{3} + 1$, pois $(\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$. Assim, a raiz quadrada desse termo é $\sqrt{3} + 1$, e o produto $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$ é uma diferença de quadrados que resulta em $3 - 1 = 2$.

A questão explora a manipulação de expressões com radicais, um tema central no estudo dos números irracionais. Números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma fração $\frac{a}{b}$ de dois inteiros, ou seja, têm representação decimal infinita e não periódica — como $\sqrt{2}$, $\pi$ e $e$. Uma propriedade importante é que o conjunto dos irracionais não é fechado em relação às quatro operações: a soma, o produto, a diferença e o quociente de dois irracionais podem resultar em um número racional ou irracional. Por exemplo, $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$, que é racional, enquanto $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$, que é irracional.

Para resolver a questão, o primeiro passo é simplificar o segundo fator. Observe que $4 + 2\sqrt{3}$ pode ser reescrito como um trinômio quadrado perfeito. Lembrando do produto notável $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, queremos encontrar $a$ e $b$ tais que $a^2 + b^2 = 4$ e $2ab = 2\sqrt{3}$. Testando $a = \sqrt{3}$ e $b = 1$, temos $a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4$ e $2ab = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$. Portanto, $4 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} + 1)^2$. Como $\sqrt{3} + 1 > 0$, a raiz quadrada principal é $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$.

Agora, o produto original se torna $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)$. Este é o produto notável da diferença de quadrados: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. Aplicando com $a = \sqrt{3}$ e $b = 1$, obtemos $(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$. O resultado é exatamente 2, confirmando a afirmação do enunciado.

A pegadinha que a banca explora aqui é dupla. Primeiro, o candidato pode tentar multiplicar diretamente os radicais sem simplificar, o que leva a uma expressão complicada e propensa a erros. Segundo, pode não reconhecer o padrão de quadrado perfeito dentro do radicando, perdendo a oportunidade de simplificar a expressão. A habilidade de identificar e manipular produtos notáveis com radicais é essencial para resolver esse tipo de questão com rapidez e precisão.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. Como demonstrado, $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{3} + 1$, pois $(\sqrt{3} + 1)^2 = 4 + 2\sqrt{3}$. Substituindo no produto, temos $(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$. O produto é exatamente 2, validando a assertiva.

Alternativa E — ❌ Errado

Esta alternativa afirma que o produto não é 2, o que está incorreto. O erro do candidato que marca esta opção geralmente vem de não simplificar o segundo fator. Ao tentar multiplicar $\sqrt{3} - 1$ por $\sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$ diretamente, a expressão fica $\sqrt{3}\sqrt{4 + 2\sqrt{3}} - \sqrt{4 + 2\sqrt{3}}$, que não é trivial de simplificar. A chave é reconhecer o quadrado perfeito dentro do radicando, transformando o problema em uma simples diferença de quadrados. Sem essa simplificação, o candidato pode concluir erroneamente que o resultado não é 2.

Gabarito: letra C