Questão de Matemática — Frações e Dízimas Periódicas — CESPE / CEBRASPE 2025

Dízimas finitas e periódicas: classificando o resultado da expressão

Gabarito: letra E (ERRADO). O número $ $\frac{2,43}{0,84}$ - $\frac{1,35}{3,24}$ $ não é uma dízima finita — é uma dízima periódica. Calculando: $\frac{2,43}{0,84} = \frac{243}{84} = \frac{81}{28}$ e $\frac{1,35}{3,24} = \frac{135}{324} = \frac{5}{12}$. A diferença é $\frac{81}{28} - \frac{5}{12} = \frac{243 - 35}{84} = \frac{208}{84} = \frac{52}{21} = 2,476190476190...$, cuja representação decimal tem período 476190 — portanto, é uma dízima periódica, não finita.

Para entender por que o resultado é uma dízima periódica, precisamos revisar a classificação dos números racionais quanto à sua representação decimal. Todo número racional — ou seja, todo número que pode ser escrito como fração $\frac{p}{q}$ com $p$ inteiro e $q$ inteiro não nulo — tem uma representação decimal que é ou finita, ou uma dízima periódica. Nunca há um terceiro caso. A pergunta central é: quando a divisão $p \div q$ gera uma decimal finita? A resposta está na fatoração do denominador $q$ (após simplificar a fração ao máximo): se $q$ tiver apenas os fatores primos 2 e 5, a decimal é finita; se $q$ tiver qualquer outro fator primo, a decimal é uma dízima periódica.

Vamos aplicar isso à expressão. Primeiro, transformamos cada decimal finito em fração: $2,43 = \frac{243}{100}$ e $0,84 = \frac{84}{100}$. A divisão $\frac{2,43}{0,84}$ vira $\frac{243/100}{84/100} = \frac{243}{84}$. Simplificando por 3, obtemos $\frac{81}{28}$. O denominador 28 fatorado é $2^2 \times 7$ — como há o fator 7, a decimal de $\frac{81}{28}$ é uma dízima periódica. Analogamente, $\frac{1,35}{3,24} = \frac{135}{324} = \frac{5}{12}$ (simplificando por 27). O denominador 12 fatorado é $2^2 \times 3$ — o fator 3 também gera dízima periódica. A diferença entre duas dízimas periódicas pode, em tese, resultar em decimal finita (por exemplo, $0,333... - 0,333... = 0$), mas aqui não é o caso: $\frac{81}{28} - \frac{5}{12} = \frac{81 \times 3 - 5 \times 7}{84} = \frac{243 - 35}{84} = \frac{208}{84} = \frac{52}{21}$. O denominador 21 fatorado é $3 \times 7$ — novamente fatores diferentes de 2 e 5, o que garante que a representação decimal é uma dízima periódica. De fato, $\frac{52}{21} = 2,476190476190...$, com período 476190.

A pegadinha desta questão está em classificar o resultado sem fazer a conta completa. O candidato pode ser tentado a pensar que, como os números originais são decimais finitos, o resultado também seria finito. Mas a divisão de decimais finitos não preserva essa propriedade: o que importa é o denominador da fração irredutível resultante. Se esse denominador tiver fatores primos além de 2 e 5, o resultado é uma dízima periódica. Guarde o critério: decimal finita só quando o denominador (já simplificado) tem apenas fatores 2 e 5.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação de que o número é uma dízima finita está incorreta. Como demonstrado, o resultado da expressão é $\frac{52}{21} = 2,476190476190...$, uma dízima periódica composta, com período 476190. O denominador 21 (fatorado como $3 \times 7$) contém fatores primos diferentes de 2 e 5, o que impede a representação decimal finita. Portanto, o item é ERRADO.

Gabarito: letra E (ERRADO).