Questão de Matemática — Produtos Notáveis — CESPE / CEBRASPE 2025

Fatoração da diferença de cubos: a identidade algébrica

Gabarito: letra C (CERTO). A expressão apresentada é exatamente a fatoração da diferença de cubos: $a - b = (\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})$. Essa identidade é válida para quaisquer números reais $a$ e $b$, e, portanto, também para números inteiros. A questão cobra o reconhecimento de um produto notável clássico, e a alternativa está correta.

A fatoração é uma das ferramentas mais importantes da álgebra: ela transforma uma soma ou diferença em um produto, o que simplifica expressões e resolve equações. O produto notável em questão é a diferença de cubos, que generaliza a diferença de quadrados. Enquanto a diferença de quadrados é $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, a diferença de cubos é $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. A questão aplica essa identidade com $x = \sqrt[3]{a}$ e $y = \sqrt[3]{b}$, pois $x^3 = a$ e $y^3 = b$.

Para verificar, basta expandir o produto:

Multiplicando termo a termo:

• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^2} = \sqrt[3]{a^3} = a$

• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}$

• $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b^2} = \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}$

• $-\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a^2} = -\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}$

• $-\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} = -\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2}$

• $-\sqrt[3]{b} \cdot \sqrt[3]{b^2} = -\sqrt[3]{b^3} = -b$

Somando tudo, os termos do meio se cancelam: $\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b} - \sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b} = 0$ e $\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2} - \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b^2} = 0$. Resta apenas $a - b$. Portanto, a identidade é verdadeira.

A pegadinha aqui é sutil: o candidato pode confundir a diferença de cubos com a soma de cubos ($a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$) ou com o quadrado da diferença ($(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$). Mas a expressão dada tem exatamente a estrutura da diferença de cubos, com os sinais corretos: o primeiro fator é uma diferença e o segundo é uma soma de três termos com todos os sinais positivos. Não há erro de sinal nem de expoente.

Outra confusão comum é achar que a fatoração só vale para números positivos, mas a identidade é válida para todos os reais, inclusive negativos. Como a raiz cúbica de um número negativo é definida nos reais, a expressão continua válida. Por exemplo, com $a = 8$ e $b = -1$: $\sqrt[3]{8} = 2$ e $\sqrt[3]{-1} = -1$, e a identidade produz $8 - (-1) = 9$, que é exatamente o resultado da expansão.

A questão, portanto, testa o domínio dos produtos notáveis e da fatoração, especificamente a diferença de cubos. A alternativa está correta porque a expressão é uma identidade algébrica verdadeira para quaisquer números reais, incluindo os inteiros.

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A afirmação está correta. A expressão $a - b$ pode ser fatorada como $(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})$, que é a diferença de cubos aplicada a $\sqrt[3]{a}$ e $\sqrt[3]{b}$. A identidade é válida para todos os números reais, e a expansão do produto confirma que o resultado é exatamente $a - b$. Não há restrição para números inteiros, pois eles são um subconjunto dos reais.

Alternativa E — ❌ ERRADO

A afirmação de que a expressão não pode ser fatorada dessa forma está incorreta. A fatoração apresentada é uma identidade algébrica clássica e correta. O erro do candidato seria confundir com outros produtos notáveis, como a soma de cubos ou o quadrado da diferença, mas a estrutura da expressão é precisamente a da diferença de cubos, com os sinais e expoentes corretos.

Gabarito: letra C (CERTO).