Questão de Matemática — Números Reais (Propriedades e Operações; Intervalos) — CESPE / CEBRASPE 2025

Propriedades dos números reais: inverso multiplicativo e desigualdades

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação de que, se $a < b$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$ é falsa, pois a função inverso $f(x) = \frac{1}{x}$ é decrescente apenas no domínio dos números positivos (ou apenas no dos negativos), mas não em todo o conjunto dos reais. Quando $a$ e $b$ têm sinais opostos, a desigualdade se inverte de forma inesperada, e quando um deles é zero, a expressão nem sequer está definida. O erro está em generalizar uma propriedade que só vale para números de mesmo sinal.

A questão explora uma propriedade clássica dos números reais: a relação de ordem e o comportamento do inverso multiplicativo. Para entender por que a afirmação é falsa, é preciso lembrar que a função $f(x) = \frac{1}{x}$ não é monótona em todo o seu domínio. Ela é decrescente no intervalo $(0, +\infty)$ e também decrescente no intervalo $(-\infty, 0)$, mas não é decrescente na união desses intervalos. Isso significa que, se tomarmos dois números positivos, como $a = 2$ e $b = 3$, temos $a < b$ e, de fato, $\frac{1}{b} = \frac{1}{3} < \frac{1}{2} = \frac{1}{a}$. A propriedade funciona. O mesmo ocorre se ambos forem negativos, por exemplo, $a = -3$ e $b = -2$: temos $a < b$ e $\frac{1}{b} = -\frac{1}{2} < -\frac{1}{3} = \frac{1}{a}$. A propriedade também funciona.

O problema surge quando os números têm sinais opostos. Considere $a = -1$ e $b = 2$. Temos $a < b$, pois $-1 < 2$. Porém, $\frac{1}{a} = -1$ e $\frac{1}{b} = \frac{1}{2}$. A afirmação diz que $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$, ou seja, $\frac{1}{2} < -1$, o que é falso. Na verdade, $\frac{1}{2} > -1$. A desigualdade se inverteu. Isso acontece porque, ao passar pelo zero, a função inverso "pula" de valores negativos muito grandes (em módulo) para valores positivos muito grandes, e a ordem natural dos números se quebra.

Além disso, há um caso extremo: se $a = 0$ ou $b = 0$, a expressão $\frac{1}{a}$ ou $\frac{1}{b}$ nem sequer está definida, pois não existe divisão por zero. O enunciado diz que $a$ e $b$ são números reais tais que $a < b$, sem excluir o zero. Portanto, a afirmação falha também por não considerar essa possibilidade.

A pegadinha da banca está em induzir o candidato a pensar apenas no caso de números positivos, que é o mais comum e intuitivo. Quem responde "certo" provavelmente testou mentalmente $a = 2$ e $b = 3$ e generalizou. Mas a propriedade do inverso multiplicativo só é válida quando os números têm o mesmo sinal. A regra correta é: se $0 < a < b$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$; se $a < b < 0$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$; mas se $a < 0 < b$, a relação entre os inversos é $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação "Caso $a$ e $b$ sejam números reais tais que $a < b$, então $\frac{1}{b} < \frac{1}{a}$" é falsa. O erro está na generalização: a propriedade do inverso multiplicativo só é válida quando $a$ e $b$ têm o mesmo sinal (ambos positivos ou ambos negativos). Se $a$ e $b$ têm sinais opostos, a desigualdade se inverte. Por exemplo, com $a = -1$ e $b = 2$, temos $a < b$, mas $\frac{1}{a} = -1$ e $\frac{1}{b} = \frac{1}{2}$, logo $\frac{1}{b} > \frac{1}{a}$, contrariando a afirmação. Além disso, se $a = 0$ ou $b = 0$, a expressão não está definida. Portanto, a proposição é ERRADA.

Gabarito: letra E (ERRADO).