Questão de Matemática — Outras Questões sobre Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Funções racionais e domínio de existência

Gabarito: letra E (ERRADO). A afirmação é falsa porque, embora a expressão $\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$ possa ser simplificada para $x^2 + 1$ quando $x \neq \pm 1$, a função $f$ não está definida em $x = 1$ e $x = -1$ (o denominador se anula), enquanto $g(x) = x^2 + 1$ está definida para todo número real. Portanto, $f(x) = g(x)$ não vale para todo $x \in \mathbb{R}$.

O ponto central desta questão é o domínio de uma função. Quando uma função é dada por uma expressão algébrica, seu domínio (o conjunto de valores de $x$ para os quais a função existe) é determinado pelas restrições naturais da expressão. A regra fundamental é: não é possível dividir por zero. Assim, para $f(x) = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$, devemos excluir do domínio os valores de $x$ que tornam o denominador igual a zero.

Resolvendo $x^2 - 1 = 0$, obtemos $x = 1$ ou $x = -1$. Logo, o domínio de $f$ é $D_f = \mathbb{R} - \{-1, 1\}$. Já a função $g(x) = x^2 + 1$ é um polinômio, e todo polinômio tem domínio $\mathbb{R}$, ou seja, $D_g = \mathbb{R}$. Como os domínios são diferentes, as funções não podem ser iguais, mesmo que suas expressões coincidam nos pontos onde ambas estão definidas.

É comum o aluno simplificar a fração e concluir que $f(x) = x^2 + 1 = g(x)$. No entanto, essa simplificação é válida apenas quando $x \neq \pm 1$, pois, nesses pontos, a expressão original não existe. A simplificação algébrica não altera o domínio da função original. Por exemplo, para $x = 1$, $f(1)$ não existe (pois $1^2 - 1 = 0$), mas $g(1) = 2$. Portanto, a igualdade $f(x) = g(x)$ falha exatamente nesses pontos.

A pegadinha da banca está em induzir o aluno a simplificar a expressão e ignorar a restrição do domínio. A igualdade entre funções exige que elas tenham o mesmo domínio e que os valores coincidam em todos os pontos desse domínio. Como $f$ e $g$ têm domínios diferentes, a afirmação é falsa.

Item — ❌ ERRADO

A afirmação "$f(x) = g(x)$ para todo número real $x$" é falsa. O erro está em desconsiderar que $f$ não está definida em $x = \pm 1$. Embora a expressão $\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$ seja equivalente a $x^2 + 1$ para $x \neq \pm 1$, a função $f$ não existe nesses pontos, enquanto $g$ existe. Portanto, a igualdade não vale para todo $x \in \mathbb{R}$.

Gabarito: letra E (ERRADO).