Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415099

Domínio de funções com raiz quadrada e fração

Gabarito: letra E (ERRADO). O domínio de $f(x) = \sqrt{1 - \frac{2}{x}}$ não é o intervalo $[2, +\infty)$ , mas sim $(-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$ . A afirmação está incorreta porque omite os valores negativos de $x$ que também satisfazem a condição de existência da função.

Para determinar o domínio de uma função real, precisamos encontrar todos os valores de $x$ para os quais a expressão está bem definida. No caso de uma raiz quadrada, o radicando (a expressão dentro da raiz) deve ser maior ou igual a zero, pois não existe raiz quadrada de número negativo no conjunto dos números reais. Além disso, como temos uma fração com $x$ no denominador, precisamos garantir que $x \neq 0$ , pois não é possível dividir por zero.

A condição para a existência da função é:

1 - \frac{2}{x} \geq 0

Resolvendo essa inequação, temos:

1 \geq \frac{2}{x}

Aqui está o ponto crucial: ao multiplicar ambos os lados por $x$ , precisamos considerar o sinal de $x$ , pois isso inverte ou não o sentido da desigualdade. Vamos analisar os dois casos:

Caso 1: $x > 0$

Multiplicando a inequação por $x$ (que é positivo, então o sinal não muda):

x \geq 2

Portanto, para $x > 0$ , a condição é $x \geq 2$ , ou seja, o intervalo $[2, +\infty)$ .

Caso 2: $x < 0$

Multiplicando a inequação por $x$ (que é negativo, então o sinal da desigualdade inverte):

x \leq 2

Como já estamos considerando $x < 0$ , a condição $x \leq 2$ é automaticamente satisfeita para todo $x$ negativo. Portanto, para $x < 0$ , a condição é $x < 0$ , ou seja, o intervalo $(-\infty, 0)$ .

Unindo os dois casos, o domínio é $(-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$ .

NÃO CAIA NESSA!

A banca tenta induzir o aluno a esquecer o caso $x < 0$ . Ao multiplicar a inequação por $x$ sem considerar o sinal, muitos concluem apenas $x \geq 2$ , ignorando que, para $x$ negativo, a desigualdade se inverte e a condição é sempre satisfeita. Lembre-se: sempre que multiplicar uma inequação por uma variável, analise os casos em que ela é positiva e negativa separadamente.

Domínio de f(x) — só x > 0: [2,∞); só x < 0: (-∞,0); x > 0∩x < 0: ∅

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO

A afirmação de que o domínio é $[2, +\infty)$ está incorreta porque omite o intervalo $(-\infty, 0)$ . Para $x$ negativo, o radicando $1 - \frac{2}{x}$ é sempre positivo (pois $\frac{2}{x}$ é negativo, e subtrair um número negativo equivale a somar), portanto a raiz quadrada está definida. O domínio correto é a união dos dois intervalos: $(-\infty, 0) \cup [2, +\infty)$ .

Gabarito: letra E

Questão de Matemática — Outras Questões sobre Funções — CESPE / CEBRASPE 2025

Domínio de funções com raiz quadrada e fração

Alternativa E — ❌ Incorreta ⟵ GABARITO