Matemática · CESPE / CEBRASPE · 2025 | Questão sqc-ce415100

Função do segundo grau: produto de funções e valor máximo

Gabarito: letra C (CERTO). A igualdade $f(x) \cdot g(x) = h(x)$ é verdadeira, pois $(x+4)(10-x) = -x^2 + 6x + 40$ . O valor máximo de $h(x)$ é 49, enquanto o produto dos máximos de $f$ e $g$ é $14 \times 10 = 140$ . Como 49 < 140, a afirmação está correta.

A questão envolve dois conceitos centrais: a multiplicação de funções e o valor máximo de uma função quadrática. Vamos analisar cada um.

Primeiro, a multiplicação de funções. Dadas duas funções $f$ e $g$ , o produto $f \cdot g$ é uma nova função definida por $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$ . No caso, temos:

f(x) \cdot g(x) = (x+4)(10-x)

Aplicando a propriedade distributiva:

(x+4)(10-x) = 10x - x^2 + 40 - 4x = -x^2 + 6x + 40

Que é exatamente a expressão de $h(x)$ . Portanto, a primeira parte da afirmação é verdadeira.

Agora, o valor máximo. Para uma função quadrática da forma $h(x) = ax^2 + bx + c$ , com $a < 0$ , o gráfico é uma parábola com concavidade para baixo, e o valor máximo ocorre no vértice. A coordenada $x$ do vértice é dada por $x_v = -\frac{b}{2a}$ , e o valor máximo é $y_v = h(x_v)$ .

No caso de $h(x) = -x^2 + 6x + 40$ , temos $a = -1$ , $b = 6$ e $c = 40$ . Assim:

x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3

y_v = h(3) = -(3)^2 + 6 \cdot 3 + 40 = -9 + 18 + 40 = 49

Portanto, o valor máximo de $h$ é 49.

Já as funções $f(x) = x+4$ e $g(x) = 10-x$ são funções do primeiro grau (retas). No domínio $[0,10]$ , uma reta crescente ( $f$ ) atinge seu máximo no extremo direito do intervalo, e uma reta decrescente ( $g$ ) atinge seu máximo no extremo esquerdo. Assim:

Máximo de $f$ : $f(10) = 10 + 4 = 14$
Máximo de $g$ : $g(0) = 10 - 0 = 10$

O produto dos máximos é $14 \times 10 = 140$ .

Comparando: $49 < 140$ . Logo, o valor máximo de $h$ é de fato menor que o produto dos máximos de $f$ e $g$ . A afirmação é verdadeira.

NÃO CAIA NESSA!

A banca pode tentar confundir o candidato fazendo-o calcular o máximo de $h$ como se o domínio fosse todo o conjunto dos reais, ou esquecendo que $f$ e $g$ são restritas ao intervalo $[0,10]$ . No entanto, mesmo que o domínio fosse todo $

mathbb{R}$, o máximo de $h$ seria 49, e o produto dos máximos de $f$ e $g$ seria infinito (pois ambas crescem sem limite). A restrição ao intervalo é crucial para que $f$ e $g$ tenham máximos finitos.

Caso	Atribuição	Resultado
Igualdade f·g = h	f(x)·g(x) = (x+4)(10−x) = −x² + 6x + 40 = h(x)	Verdadeira
Máximo de h	x_v = 3, y_v = h(3) = 49	49
Máximo de f em [0,10]	f(10) = 14	14
Máximo de g em [0,10]	g(0) = 10	10
Produto dos máximos	14 × 10	140
Comparação	49 < 140	Verdadeira
Conclusão	Afirmação correta	Gabarito: C (Certo)

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO

A alternativa está correta porque:

A igualdade é verdadeira: $f(x) \cdot g(x) = (x+4)(10-x) = -x^2 + 6x + 40 = h(x)$ .
O valor máximo de $h$ é 49: calculado pelo vértice da parábola, $x_v = 3$ e $y_v = 49$ .
O produto dos máximos de $f$ e $g$ é 140: no domínio $[0,10]$ , $f$ atinge máximo 14 em $x=10$ , e $g$ atinge máximo 10 em $x=0$ .
49 < 140: a comparação confirma a afirmação.

Gabarito: letra C

Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — CESPE / CEBRASPE 2025

Função do segundo grau: produto de funções e valor máximo

Alternativa C — ✅ CERTO ⟵ GABARITO